数字零和极限零有什么区别？

一、前言

在高等数学的学习中，我们会遇到两种“零”：等于零（$=0$）和趋于零（$\to 0$）。

那么，在计算的时候，这两种“零”有哪些不同点和相同点呢？在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们详细讲解这一知识点。

二、正文

§2.1 总述

简单来说，等于零（$=0$）指的就是等于 $0$ 这个数字。于是，在等于零的情况下，就具有了数字 $0$ 的全部性质；趋于零（$\to 0$）指的就是有变得越来越小以至无穷小的趋势，也就是有等于零的趋势，但并没有真的等于零。所以，趋于零并不具有数字 $0$ 的全部性质。

如果做一个比喻的话，等于零就相当于已经攀登到了山顶，而趋于零则相当于接近登上山顶，但越爬越慢，永远无法真正抵达山顶。

§2.2 比值形式

在 $\frac{0}{0}$ 形式的式子中，如果分子等于零，而分母趋于零，则结果一定等于零，例如：

$$\begin{array}{rl}& \underset{x\to 0}{lim}\frac{2-2}{x}\\ \\ =& \underset{x\to 0}{lim}\frac{0}{x}\\ \\ =& \underset{x\to 0}{lim}\frac{0}{x^2}\\ \\ =& \underset{x\to 0}{lim}\frac{0}{x^3}\\ \\ =& 0\end{array}$$

在 $\frac{0}{0}$ 形式的式子中，如果分子和分母都是趋于零的，则结果可能趋于零，也可能趋于无穷大，或者存在极限值，例如：

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{lim}\frac{x^2}{x}=& \underset{x\to 0}{lim}x\to 0\\ \\ \underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{x^2}=& \underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{x}\to \mathrm{\infty }\\ \\ \underset{x\to 0}{lim}\frac{2x}{x}=& 2\end{array}$$

Tip

根据约定，在 $\frac{0}{0}$ 形式的式子中，不可能存在分母等于数字 $0$ 的情况。

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§2.3 次幂形式

任意非零数字的零次幂都等于 $1$, 因此，对于任意一个非零数字 $K$, 我们有：

$$\begin{array}{rl}{K}^0=& 1\\ \\ \underset{x\to 0}{lim}{K}^x=& 1\end{array}$$

此外，由于 $0$ 的零次幂在数学上是没有定义的，因此，我们不能说 $0^0$ $=$ $1$.

但是，如果不是等于零，而是趋于零，则有：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \underset{x\to 0}{lim}{x}^x=1\end{array}$$

当 $x\to 0$ 的时候，还有下面这个重要的公式别忘记哦：

$$\begin{array}{rl}& \underset{x\to 0}{lim}{(1+\frac{1}{x})}^x=\mathrm{e}\\ \\ & \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+x)}^{\frac{1}{x}}=\mathrm{e}\end{array}$$

§2.4 阶乘

由于阶乘是在整数域上定义的，所以，对于数字 $0$, 我们有：

$$0!=1!=1$$

但如果是趋于零（非整数，也不是一个确定的数字），则不能计算其阶乘，因此，下式不成立：

$$\underset{n\to 0}{lim}n!=0$$

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