数字零和极限零有什么区别？

一、前言

在高等数学的学习中，我们会遇到两种“零”：等于零（$= 0$）和趋于零（$\rightarrow 0$）。

那么，在计算的时候，这两种“零”有哪些不同点和相同点呢？在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们详细讲解这一知识点。

二、正文

§2.1 总述

简单来说，等于零（$= 0$）指的就是等于 $0$ 这个数字。于是，在等于零的情况下，就具有了数字 $0$ 的全部性质；趋于零（$\rightarrow 0$）指的就是有变得越来越小以至无穷小的趋势，也就是有等于零的趋势，但并没有真的等于零。所以，趋于零并不具有数字 $0$ 的全部性质。

如果做一个比喻的话，等于零就相当于已经攀登到了山顶，而趋于零则相当于接近登上山顶，但越爬越慢，永远无法真正抵达山顶。

§2.2 比值形式

在 $\frac{0}{0}$ 形式的式子中，如果分子等于零，而分母趋于零，则结果一定等于零，例如：

$$
\textcolor{springgreen}{
\begin{aligned}
& \lim_{x \rightarrow 0} \frac{2-2}{x} \\ \\
= & \lim_{x \rightarrow 0} \frac{0}{x} \\ \\
= & \lim_{x \rightarrow 0} \frac{0}{x ^{2}} \\ \\
= & \lim_{x \rightarrow 0} \frac{0}{x ^{3}} \\ \\
= & 0
\end{aligned}
}
$$

在 $\frac{0}{0}$ 形式的式子中，如果分子和分母都是趋于零的，则结果可能趋于零，也可能趋于无穷大，或者存在极限值，例如：

$$
\textcolor{springgreen}{
\begin{aligned}
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x ^{2}}{x} = & \lim_{x \rightarrow 0} x \rightarrow 0 \\ \\
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{x ^{2}} = & \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \rightarrow \infty \\ \\
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{2x}{x} = & 2
\end{aligned}
}
$$

Tip

根据约定，在 $\frac{0}{0}$ 形式的式子中，不可能存在分母等于数字 $0$ 的情况。

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§2.3 次幂形式

任意非零数字的零次幂都等于 $1$, 因此，对于任意一个非零数字 $K$, 我们有：

$$
\textcolor{springgreen}{
\begin{aligned}
K ^{0} = & 1 \\ \\
\lim_{x \rightarrow 0} K ^{x} = & 1
\end{aligned}
}
$$

此外，由于 $0$ 的零次幂在数学上是没有定义的，因此，我们不能说 $0 ^{0}$ $=$ $1$.

但是，如果不是等于零，而是趋于零，则有：

$$
\textcolor{springgreen}{
\lim_{x \rightarrow 0} x ^{x} = 1 } \tag{1}
$$

当 $x \rightarrow 0$ 的时候，还有下面这个重要的公式别忘记哦：

$$
\textcolor{springgreen}{
\begin{aligned}
& \lim_{x \rightarrow 0} \left( 1 + \frac{1}{x} \right) ^{x} = \mathrm{e} \\ \\
& \lim_{x \rightarrow \infty} \left( 1 + x \right) ^{\frac{1}{x}} = \mathrm{e}
\end{aligned}
}
$$

§2.4 阶乘

由于阶乘是在整数域上定义的，所以，对于数字 $0$, 我们有：

$$
\textcolor{springgreen}{
0! = 1! = 1
}
$$

但如果是趋于零（非整数，也不是一个确定的数字），则不能计算其阶乘，因此，下式不成立：

$$
\lim_{n \rightarrow 0} n! = 0
$$

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