如果不能完全去掉根号，也要想办法把根号“挤”到分子上

一、题目

$$
\begin{aligned}
& I = \\ \\
& \lim_{ x \rightarrow + \infty } \left[ \sqrt[3]{x^{3} + x^{2} + x + 1 } – \frac{ \ln \left( \mathrm{e}^{x} + x \right) }{x} \times \sqrt{x^{2} + x + 1 } \right] \\ \\
& = ?
\end{aligned}
$$

难度评级：

二、解析

观察可知，式子 $I$ 主要由三个部分组成，即 $2$ 个根式和 $1$ 个分式。而本题的一个解题突破口就在这个分式上：

$$
\textcolor{orange}{
\frac{\ln \left( \mathrm{e}^{x} + x \right) }{x}
}
$$

为什么呢？

因为上面这个分式并不是一个“最简”的形式。

对于这个分式的处理，我们有两种方式，一种就是使用洛必达法则“洛”出来其在 $x \rightarrow + \infty$ 下的极限值：

$$
\begin{aligned}
& \lim_{x \rightarrow + \infty} \textcolor{orange}{ \frac{\ln \left( \mathrm{e}^{x} + x \right) }{x} }
\Rightarrow \frac{\infty}{\infty} \\ \\
\Rightarrow & \text{ 洛必达运算 } \Rightarrow \\ \\
\Rightarrow & \lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{\mathrm{e}^{x} + 1}{\mathrm{e}^{x} + x} \Rightarrow \frac{\infty}{\infty} \\ \\
\Rightarrow & \text{ 洛必达运算 } \Rightarrow \\ \\
\Rightarrow & \lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{\mathrm{e} ^{x}}{\mathrm{e} ^{x} + 1} \Rightarrow \frac{\infty}{\infty} \\ \\
\Rightarrow & \text{ 洛必达运算 } \Rightarrow \\ \\
\Rightarrow & \lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{\mathrm{e} ^{x}}{\mathrm{e} ^{x}} = \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{1}}
\end{aligned}
$$

或者利用对数的性质变形，提取出其中的数字：

$$
\begin{aligned}
& \lim_{x \rightarrow + \infty} \textcolor{orange}{ \frac{\ln \left( \mathrm{e}^{x} + x \right) }{x} } \\ \\
= & \lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{\ln [ \mathrm{e} ^{x} \cdot (1 + \frac{x}{\mathrm{e} ^{x}}) ]}{x} \\ \\
= & \lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{ \textcolor{yellow}{ \ln \mathrm{e}^{x} } + \ln \left( 1 + \frac { x } { \mathrm{e}^{x} } \right) }{x} \\ \\
= & \lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{ \textcolor{yellow}{ x } + \ln \left( 1 + \frac { x } { \mathrm{e}^{x} } \right) }{x} \\ \\
= & 1 + \lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{1}{x} \ln \left( 1 + \textcolor{magenta}{ \frac{x}{ \mathrm{e}^{x} } } \right)
\end{aligned}
$$

又因为：

$$
\begin{aligned}
& \textcolor{magenta}{\lim_{ x \rightarrow + \infty } \frac{x}{\mathrm{e}^{x} } } \Rightarrow \frac{\infty}{\infty} \\ \\
\Rightarrow & \text{ 洛必达运算 } \\ \\
\Rightarrow & \lim_{ x \rightarrow + \infty } \frac{1}{ \mathrm{e}^{x} } \\ \\
= & \textcolor{magenta}{0}
\end{aligned}
$$

所以：

$$
\begin{aligned}
& \lim_{x \rightarrow + \infty} \textcolor{orange}{ \frac{\ln \left( \mathrm{e}^{x} + x \right) }{x} } \\ \\
\Rightarrow & 1 + \lim_{x \rightarrow + \infty} \frac {1}{x} \ln \left( 1 + \textcolor{magenta}{ \frac{x}{ \mathrm{e}^{x} } } \right) \\ \\
\Rightarrow & 1 + \lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{1}{x} \ln (1 + 0) \\ \\
\Rightarrow & 1 + \frac{1}{\infty} \\ \\
\Rightarrow & 1 + 0 = \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{1}}
\end{aligned}
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
& I = \\ \\
\Rightarrow & \lim_{ x \rightarrow + \infty } \left[ \sqrt[3]{x^{3} + x^{2} + x + 1 } – \textcolor{orange}{ \frac{ \ln \left( \mathrm{e}^{x} + x \right) }{x} } \times \sqrt{x^{2} + x + 1 } \right] \\ \\
\Rightarrow & \lim_{ x \rightarrow + \infty } \left[ \sqrt[3]{x^{3} + x^{2} + x + 1 } – \textcolor{orange}{1} \times \sqrt{x^{2} + x + 1 } \right] \\ \\
\Rightarrow & \lim_{ \textcolor{orangered}{ x \rightarrow + \infty }} \left[ \sqrt[3]{x^{3} + x^{2} + x + 1 } – \sqrt{x^{2} + x + 1 } \right] \\ \\
\Rightarrow & \textcolor{tan}{ t = \frac{1}{x} } \quad \textcolor{springgreen}{\Large{\boldsymbol{\star}}} \\ \\
\Rightarrow & \lim_{ \textcolor{orangered}{ t \rightarrow 0^{+} }} \left[ \sqrt[3]{\frac{1}{t^{3} } + \frac{1}{ t^{2} } + \frac{1}{t} + 1 } – \sqrt{ \frac{1}{t^{2} } + \frac{1}{t} + 1 } \right] \\ \\
\Rightarrow & \lim_{ t \rightarrow 0^{+} } \left[ \sqrt[3]{\frac{1}{ \textcolor{pink}{ t^{3} } } + \frac{t}{ \textcolor{pink}{t^{3}} } + \frac{t ^{2}}{\textcolor{pink}{t ^{3}}} + \frac{t ^{3}}{\textcolor{pink}{t ^{3}}} } – \sqrt{ \frac{1}{ \textcolor{yellow}{t^{2}} } + \frac{t}{\textcolor{yellow}{t^{2}}} + \frac{t ^{2}}{\textcolor{yellow}{t^{2}}} } \right] \\ \\
\Rightarrow & \lim_{ t \rightarrow 0^{+} } \left[ \frac{ \sqrt[3]{ 1+t+t^{2}+t^{3} } }{t} – \frac{ \sqrt{ 1+t+t^{2} } }{t} \right] \\ \\
\Rightarrow & \lim_{ t \rightarrow 0^{+} } \left[ \frac{ \sqrt[3]{ 1+t+t^{2}+t^{3} } \textcolor{orangered}{-1} }{t} \textcolor{orangered}{-} \frac{ \sqrt{ 1+t+t^{2} } \textcolor{orangered}{-1} }{t} \right] \\ \\
\Rightarrow & \lim_{ t \rightarrow 0^{+} } \frac{ \sqrt[3]{ 1+t+t^{2}+t^{3} } \textcolor{orangered}{-1} } { t } \textcolor{orangered}{-} \lim_{ t \rightarrow 0^{+} } \frac{ \sqrt{ 1+t+t^{2} } \textcolor{orangered}{-1} }{t} \\ \\
\Rightarrow & \textcolor{tan}{ \begin{cases}
\beta(x) \rightarrow 0 \\
\alpha(x) \cdot \beta(x) \rightarrow 0
\end{cases} \Rightarrow \left\{ \left[ 1 + \beta(x) \right] ^{\alpha(x)} – 1 \right\} \sim \alpha(x) \cdot \beta(x) } \\ \\
\Rightarrow & \lim_{ t \rightarrow 0^{+} } \frac{ \frac{1}{3} \left( t+t^{2}+t^{3} \right) + o(t) }{t} – \lim_{ t \rightarrow 0^{+} } \frac{ \frac{1}{2} \left( t+t^{2} \right) + o(t) }{t} \\ \\
\Rightarrow & \lim_{ t \rightarrow 0^{+} } \frac{\frac{1}{3} t}{t} – \lim_{ t \rightarrow 0^{+} } \frac{\frac{1}{2} t}{t} \\ \\
\Rightarrow & \frac{1}{3} – \frac{1}{2} \\ \\
\Rightarrow & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{ -\frac{1}{6} }}
\end{aligned}
$$

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