2018 年研究生入学考试数学一填空题第 1 题解析

一、题目

$\underset{x\to 0}{lim}$ $(\frac{1-\tan x}{1+\tan x}{)}^{\frac{1}{\sin kx}}$ $=$ $e$, 则 $k$ $=$__.

二、解析

观察本题可以发现，这是一个求极限的式子，而且等式的右边是 $e$, 符合“两个重要极限”中的第二个重要极限的一部分特征。

两个重要极限如下：

$\underset{x\to x_{x_0}}{lim}$ $\frac{\sin x}{x}$ $=$ $1$, $\underset{x\to 0}{lim}$ $(1+x{)}^{\frac{1}{x}}$ $=$ $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}$ $(1+\frac{1}{x}{)}^x$ $=$ $e$.

由于题目中的式子不存在上述公式中的 $1$, 因此，我们需要构造出这个 $1$, 即：

$1$ $+$ $◻$ $=$ $\frac{1-\tan x}{1+\tan x}$ $\Rightarrow$ $◻$ $=$ $\frac{1-\tan x}{1+\tan x}$ $-$ $1$ $=$ $\frac{1-\tan x}{1+\tan x}$ $-$ $\frac{1+\tan x}{1+\tan x}$ $=$ $\frac{-2\tan x}{1+\tan x}$.

于是，原式 $=$ $\underset{x\to 0}{lim}$ $(1+\frac{-2\tan x}{1+\tan x}{)}^{\frac{1}{\sin kx}}$ $=$ $e$. (1)

由于当 $x$ $\to$ $0$ 时，$\frac{-2\tan x}{1+\tan x}$ $\to$ $0$ 且 $\frac{1}{\sin kx}$ $\to$ $\mathrm{\infty }$, 所以，符合使用“两个重要极限”的条件，可以继续接下来的计算。

接下来继续向公式的方向构造等式。

$(1)$ $=$ $\underset{x\to 0}{lim}$ $(1+\frac{-2\tan x}{1+\tan x}{)}^{\frac{1+\tan x}{-2\tan x}\frac{-2\tan x}{1+\tan x}\frac{1}{\sin kx}}$. (2)

根据公式，我们知道：

$\underset{x\to 0}{lim}$ $(1+\frac{-2\tan x}{1+\tan x}{)}^{\frac{1+\tan x}{-2\tan x}}$ $=$ $e$.

于是：

$(2)$ $=$ $e^{\underset{x\to 0}{lim}\frac{-2\tan x}{1+\tan x}\frac{1}{\sin kx}}$ $=$ $e^{\underset{x\to 0}{lim}\frac{-2\tan x}{(1+\tan x)\sin kx}}$. (3)

当 $x$ $\to$ $0$ 时，$\tan x$ $\to$ $0$ 是不可以带入原式中的（只有非零和非无穷的数值可以带入原式中。），不过当 $x$ $\to$ $0$ 时，$(1+\tan x)$ $\to$ $1$ 是可以带入原式中的，于是：

$\underset{x\to 0}{lim}$ $\frac{-2\tan x}{(1+\tan x)\sin kx}$ $=$ $\underset{x\to 0}{lim}$ $\frac{-2\tan x}{\sin kx}$.

又因为当 $x$ $\to$ $0$ 时，$\sin x$ $\sim$ $\tan x$ $\sim x$, 于是：

$\underset{x\to 0}{lim}$ $\frac{-2\tan x}{\sin kx}$ $=$ $\underset{x\to 0}{lim}$ $\frac{-2x}{kx}$ $=$ $-\frac{2}{k}$.

即：

$e^{-\frac{2}{k}}$ $=$ $e$ $\Rightarrow$ $-$ $\frac{2}{k}$ $=$ $1$ $\Rightarrow$ $k$ $=$ $-$ $2$.

综上可知，正确答案是：$-2$.

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