这道题该提取 x 还是 -x 呢？

一、题目

难度评级：

二、解析

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在本题中，由于 $x$ 是趋于 $-\mathrm{\infty }$ 而不是 $+\mathrm{\infty }$ 的，因此，$x$ 一定是一个 负 数 。所以，在提取公因式的时候，一定要注意 正 负 性 的问题。

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$$\begin{array}{r}I\\ \\ & =\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{4x^2+x+1}+x+1}{\sqrt{x^2+\sin x}}\\ \\ & =\underset{x\to –\mathrm{\infty }}{lim}\frac{-x\sqrt{4+x^{–1}+x^{–2}}+x+1}{-x\sqrt{1+x^{–2}\sin x}}\\ \\ & =\underset{x\to –\mathrm{\infty }}{lim}\frac{–x\sqrt{4+x^{–1}+x^{–2}}–x\left(–1–x^{–1}\right)}{–x\sqrt{1+x^{–2}\sin x}}\\ \\ & =\underset{x\to –\mathrm{\infty }}{lim}\frac{–x\sqrt{4+0+0}–x\left(–1–0\right)}{–x\sqrt{1+0}}\\ \\ & =\underset{x\to –\mathrm{\infty }}{lim}\frac{–x(\sqrt{4}–1)}{–x\sqrt{1}}\\ \\ & =\frac{2–1}{1}\\ \\ & =\mathbf{1}\end{array}$$

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