你能看出来这个变限积分无法直接求导吗？

一、题目

设 $y$ $=$ $y (x)$ 由 ${\begin{cases} x = \int_{0}^{t} 2 e^{- u^{2}} d u \\ y = \int_{0}^{t} \sin (t - u) d u \end{cases}$ 确定，则 $y$ $=$ $y (x)$ 在 $t$ $=$ $0$ 对应点处的曲率是多少？

难度评级：

二、解析

根据荒原之梦考研数学的《什么是曲率？什么是曲率圆？》这篇文章可知，曲率的计算公式为：
$K$ $=$ $\frac{| y^{''} |}{(1 + y^{' 2})^{\frac{3}{2}}}$

因此，这就涉及到求导运算。

分析可知，题目给出的参数方程组中的 $x$ $=$ $\int_{0}^{t} 2 e^{- u^{2}} d u$ 可以直接进行函数 $x (t)$ 对自变量 $t$ 的求导运算，但在式子 $y$ $=$ $\int_{0}^{t} \sin (t - u) d u$ 中，则很难直接进行函数 $y (t)$ 对 $t$ 的求导运算，所以，需要先通过代换的方式进行变形处理：
$\begin{aligned} y = \int_{0}^{t} \sin (t - u) d u \\ =_{u = t - s}^{s = t - u} \int_{0}^{t} \sin s d s \end{aligned}$

于是：

$\begin{aligned} \frac{d y}{d x} \\ = \frac{y^{'} (t)}{x^{'} (t)} \\ = \frac{\sin t}{2 e^{- t^{2}}} \\ = \frac{1}{2} e^{t^{2}} \sin t \end{aligned}$

又：

$\begin{aligned} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} \\ = \frac{d}{d x} (\frac{d y}{d x}) \\ = \frac{d}{d t} (\frac{d y}{d x}) \cdot \frac{d t}{d x} \\ = {(\frac{1}{2} e^{t^{2}} \sin t)}_{t}^{'} \times \frac{1}{2 e^{- t^{2}}} \\ = \frac{1}{4} e^{2 t^{2}} (2 t \sin t + \cos t) \end{aligned}$

当 $t = 0$ 时，有：

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} |_{t = 0} = \frac{1}{4}$

$\frac{d y}{d x} |_{t = 0} = 0$

因此，当 $t = 0$ 时，曲率为：

$K = \frac{| y^{''} |}{{(1 + y^{' 2})}^{\frac{3}{2}}} = \frac{\frac{1}{4}}{{(1 + 0^{2})}^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{4}$

你能看出来这个变限积分无法直接求导吗？

一、题目

二、解析

高等数学

线性代数

特别专题

一、题目

二、解析

高等数学

线性代数

特别专题

相关文章：