分段函数求不定积分的两种常用方法：不定积分法和变上限积分法

一、题目

已知 $f (x)$ $=$ $max {1, x^{2}}$ ，则 $\int f (x) d x$ $=$ $?$

(A). ${\begin{cases} \frac{x^{3}}{3} + C, & x < - 1 \\ x + C, & - 1 \leq x \leq 1 \\ \frac{x^{3}}{3} + C, & x > 1 \end{cases}$

(B). ${\begin{cases} x^{3} - \frac{2}{3} + C, & x < - 1 \\ x + C, & - 1 \leq x \leq 1 \\ \frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3} + C, & x > 1 \end{cases}$

(C). ${\begin{cases} \frac{x^{3}}{3} + C_{1}, & x < - 1 \\ x + C_2, & - 1 \leq x \leq 1 \\ \frac{x^{3}}{3} + C_3, & x > 1 \end{cases}$

(D). ${\begin{cases} x^{3} - \frac{4}{3} + C, & x < - 1 \\ x + C, & - 1 \leq x \leq 1 \\ \frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3} + C, & x > 1 \end{cases}$

难度评级：

二、解析

解法一：分段函数分段求，再利用连续性确定未知参数

由题可知：

$\begin{aligned} f (x) \\ = max {1, x^{2}} \\ = {\begin{cases} x^{2}, & x < - 1 \\ 1, & - 1 \leq x \leq 1 \\ x^{2}, & x > 1 \end{cases} \end{aligned}$

于是，根据基本的积分公式：

当 $x < - 1$ 时：

$\begin{aligned} F (x) \\ = \int x^{2} d x \\ = \frac{1}{3} x^{3} + C_{1} \end{aligned}$

当 $- 1 \leq x \leq 1$ 时：

$\begin{aligned} F (x) \\ = \int 1 d x \\ = x + C_{2} \end{aligned}$

当 $x > 1$ 时：

$\begin{aligned} F (x) \\ = \int x^{2} d x \\ = \frac{1}{3} x^{3} + C_{3} \end{aligned}$

即：

$F (x) = {\begin{cases} \frac{1}{3} x^{3} + C_{1}, & x < - 1 \\ x + C_{2}, & - 1 \leq x \leq 1 \\ \frac{1}{3} x^{3} + C_{3}, & x > 1 \end{cases}$

注意：

我们有可能常犯的一个错误就是，计算到上面这一步就认为解题已经结束了，其实，上面式子的参数 $C_{1}$ , $C_{2}$ 和 $C_{3}$ 还可以被进一步加以明确。

又因为函数 $F (x)$ 是由函数 $f (x)$ 积分得来的，因此，函数 $F (x)$ 一定是连续函数，则函数 $F (x)$ 在分段点 $x = 1$ 和 $x = - 1$ 的左右两侧的函数值一定是相等的，即：

$lim_{x \to - 1^{-}} F (x) = F (- 1)$

$lim_{x \to 1^{+}} F (x) = F (1)$

从而有：

$- \frac{1}{3} + C_{1} = - 1 + C_{2}$

$1 + C_{2} = \frac{1}{3} + C_{3}$

解得：

$C_{1} = C_{2} - \frac{2}{3}$

$C_{3} = C_{2} + \frac{2}{3}$

若令 $C_{2} = C$ , 则：

$F (x) = {\begin{cases} \frac{1}{3} x^{3} + C - \frac{2}{3}, & x < - 1 \\ x + C, & - 1 \leq x \leq 1 \\ \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{3} + C, & x > 1 \end{cases}$

综上可知，本题应选 B .

下面这道题也使用了和解法一相同的求解思路，也就是先分段求积分，之后再利用函数的连续性确定两个原函数的任意常数之间的关系：

题目：

$\int | x | e^{x} d x$

解析：

首先，通过分段的方式去根号：

$f (x) = | x | e^{x} = {\begin{cases} x e^{x}, & x ⩾ 0, \\ - x e^{x}, & x < 0 \end{cases}$

$⋆$ 接下来的积分运算涉及 $e^{x}$ , 含有 $e^{x}$ 的式子有很多计算技巧，更多内容可以查阅「荒原之梦考研数学」的《 $e^{x}$ 运算技巧汇总》这篇文章。

于是：

[1]. $x ⩾ 0$ 时，有：

$\begin{aligned} F (x) \\ = \int x e^{x} d x \\ = (x - 1) e^{x} + C_{1} \\ \Rightarrow & lim_{x \to 0^{+}} F (x) = - 1 + C_{1} \end{aligned}$

[2]. $x < 0$ 时，有：

$\begin{aligned} F (x) \\ = \int - x e^{x} d x \\ = (1 - x) e^{x} + C_{2} \\ \Rightarrow & lim_{x \to 0^{-}} F (x) = 1 + C_{2} \end{aligned}$

又因为函数 $F (x)$ 在 $x = 0$ 处可导，所以 $F (x)$ 在 $x = 0$ 处一定连续，即：

$\begin{aligned} lim_{x \to 0^{+}} F (x) = lim_{x \to 0^{-}} F (x) = F (0) = 0 \\ \Rightarrow & C_{1} - 1 = C_{2} + 1 \\ \Rightarrow & {\begin{cases} C_{2} = C_{1} - 2 \\ C_{1} = C_{2} + 2 \end{cases} \end{aligned}$

于是：

$F (x) = {\begin{cases} (x - 1) e^{x} + C, & x ⩾ 0, \\ (1 - x) e^{x} + C - 2, & x < 0 \end{cases}$

或者：

$F (x) = {\begin{cases} (x - 1) e^{x} + 2 + C, & x ⩾ 0, \\ (1 - x) e^{x} + C, & x < 0 \end{cases}$

解法二：利用变上限积分

已知：

$max {1, t^{2}} = {\begin{cases} t^{2}, & d t < - 1 \\ 1, & - 1 \leq t \leq 1 \\ t^{2}, & d t > 1 \end{cases}$

分析可知， $f (t)$ $=$ $max {1, t^{2}}$ 其实是一个连续函数，于是，根据《变上限积分求原函数和不定积分求原函数的区别》这篇笔记可知，我们可以直接对函数 $f (t)$ 计算变上限积分，并且所得的原函数一定是连续的。

于是，我们有变限积分函数 $G (x)$ ：

$\begin{aligned} G (x) \\ = \int_{0}^{x} max {1, t^{2}} d t \\ = {\begin{cases} \int_{0}^{x} max {1, t^{2}} d t, & x < - 1 \\ \int_0^{x} max {1, t^{2}} d t, & - 1 \leq x \leq 1 \\ \int_0^{x} max {1, t^{2}} d t, & x > 1 \end{cases} \end{aligned}$

由于该变上限积分定义域的取值是从 $0$ 开始的，因此，需要对函数本身分段积分：

注意：

这里的分段积分是为了满足函数本身的定义，而不是对积分区间进行分段后再积分——只要不是在分段的区间上进行分段积分，就不需要考虑积分所得的原函数的连续性问题。

$\begin{aligned} G (x) \\ = {\begin{cases} \int_{0}^{- 1} 1 d t + \int_{- 1}^{x} t^{2} d t, & x < - 1 \\ \int_0^{x} 1 d t, & - 1 \leq x \leq 1 \\ \int_0^{1} 1 d t + \int_1^{x} t^{2} d t, & x > 1 \end{cases} \\ = {\begin{cases} \frac{x^{3}}{3} - \frac{2}{3}, & x < - 1 \\ x, & - 1 \leq x \leq 1 \\ \frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3}, & x > 1 \end{cases} \end{aligned}$

又因为不定积分与对应的变上限积分的差别就是多了一个任意常数 $C$ , 因此：

$\begin{aligned} \int max {1, x^{2}} d x \\ = \int_{0}^{x} max {1, t^{2}} d t + C \\ = {\begin{cases} \frac{x^{3}}{3} - \frac{2}{3} + C, & d x < - 1 \\ x + C, & - 1 \leq x \leq 1 \\ \frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3} + C, & d x > 1 \end{cases} \end{aligned}$