一、题目
已知 $f(x)$ $=$ $\max \left\{1, x^{2}\right\}$ ，则 $\int f(x) \mathrm{~d} x$ $=$ $?$
(A). $\begin{cases}
\frac{x^{3}}{3}+C, & x<-1 \\ x+C, & -1 \leq x \leq 1 \\\ \frac{x^{3}}{3}+C, & x>1
\end{cases}$
(B). $\begin{cases}
x^{3} – \frac{2}{3}+\mathrm{C}, & x<-1 \\\ x+\mathrm{C}, & -1 \leq x \leq 1 \\\ \frac{x^{3}}{3}+\frac{2}{3}+\mathrm{C}, & x>1
\end{cases}$
(C). $\begin{cases}
\frac{x^{3}}{3}+C_{1}, & x<-1 \\\ x+C\_{2}, & -1 \leq x \leq 1 \\\ \frac{x^{3}}{3}+C\_{3}, & x>1
\end{cases}$
(D). $\begin{cases}
x^{3} – \frac{4}{3}+\mathrm{C}, & x<-1 \\\ x+\mathrm{C}, & -1 \leq x \leq 1 \\\ \frac{x^{3}}{3}+\frac{2}{3}+\mathrm{C}, & x>1
\end{cases}$
难度评级：
二、解析 
解法一：分段函数分段求，再利用连续性确定未知参数
由题可知：
$$
\begin{aligned}
f(x) \\ \\
& = \max \left\{1, x^{2}\right\} \\ \\
& = \begin{cases}
x^{2}, & x<-1 \\ 1, & -1 \leq x \leq 1 \\ x^{2}, & x>1
\end{cases}
\end{aligned}
$$
于是，根据基本的积分公式：
当 $x<-1$ 时：
$$
\begin{aligned}
F(x) \\ \\
& = \int x^{2} \mathrm{~d} x \\ \\
& = \frac{1}{3} x^{3} + C_{1}
\end{aligned}
$$
当 $-1 \leq x \leq 1$ 时：
$$
\begin{aligned}
F(x) \\ \\
& = \int 1 \mathrm{~d} x \\ \\
& = x + C_{2}
\end{aligned}
$$
当 $x > 1$ 时：
$$
\begin{aligned}
F(x) \\ \\
& = \int x^{2} \mathrm{~d} x \\ \\
& = \frac{1}{3} x^{3} + C_{3}
\end{aligned}
$$
即：
$$
\textcolor{orangered}{
F(x) = \begin{cases}
& \frac{1}{3} x^{3}+C_{1}, & x < -1 \\ \\ & x + C_{2}, & -1 \leq x \leq 1 \\ \\ & \frac{1}{3} x^{3} + C_{3}, & x > 1
\end{cases}
}
$$
注意：
我们有可能常犯的一个错误就是，计算到上面这一步就认为解题已经结束了，其实，上面式子的参数 $C_{1}$, $C_{2}$ 和 $C_{3}$ 还可以被进一步加以明确。
又因为函数 $F(x)$ 是由函数 $f(x)$ 积分得来的，因此，函数 $F(x)$ 一定是连续函数，则函数 $F(x)$ 在分段点 $x = 1$ 和 $x = -1$ 的左右两侧的函数值一定是相等的，即：
$$\lim \limits_{x \rightarrow-1^{-}} F(x)=F(-1)
$$
$$
\lim \limits_{x \rightarrow 1^{+}} F(x)=F(1)
$$
从而有：
$$
-\frac{1}{3}+C_{1}=-1+C_{2}
$$
$$
1+C_{2}=\frac{1}{3}+C_{3}
$$
解得：
$$
C_{1}=C_{2}-\frac{2}{3}
$$
$$
C_{3}=C_{2}+\frac{2}{3}
$$
若令 $C_{2} = C$, 则：
$$
\textcolor{springgreen}{
F(x) = \begin{cases}
\frac{1}{3} x^{3} + C – \frac{2}{3}, & x<-1 \\\ x + C, & -1 \leq x \leq 1 \\\ \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{3} + C, & x>1
\end{cases}
}
$$
综上可知，本 题 应 选 B .
下面这道题也使用了和解法一相同的求解思路，也就是先分段求积分，之后再利用函数的连续性确定两个原函数的任意常数之间的关系：
题目：
$$
\int |x| \mathrm{e} ^{x} \mathrm{~d} x
$$
解析：
首先，通过分段的方式去根号：
$$
f (x) = |x| \mathrm{e}^{x} = \begin{cases}
x \mathrm{e}^{x}, & x \geqslant 0, \\
-x \mathrm{e}^{x}, & x < 0
\end{cases}
$$
$\textcolor{springgreen}{\Large{\boldsymbol{\star}}}$ 接下来的积分运算涉及 $\mathrm{e} ^{x}$, 含有 $\mathrm{e} ^{x}$ 的式子有很多计算技巧，更多内容可以查阅「荒原之梦考研数学」的《$\mathrm{e} ^{x}$ 运算技巧汇总》这篇文章。
于是：
[1]. $x \geqslant 0$ 时，有：
$$
\begin{aligned}
F (x) \\
& = \int x \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x \\
& = \textcolor{orange}{(x-1) \mathrm{e}^{x} + C_{1} } \\ \\
\Rightarrow & \textcolor{pink}{\lim_{x \to 0^{+}} F(x) = -1 + C_{1} }
\end{aligned}
$$
[2]. $x < 0$ 时，有：
$$
\begin{aligned}
F (x) \\
& = \int – x \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x \\
& = \textcolor{orange}{(1-x) \mathrm{e}^{x} + C_{2} } \\ \\
\Rightarrow & \textcolor{pink}{\lim_{x \to 0^{-}} F(x) = 1 + C_{2} }
\end{aligned}
$$
又因为函数 $F (x)$ 在 $x = 0$ 处可导，所以 $F (x)$ 在 $x = 0$ 处一定连续，即：
$$
\begin{aligned}
& \lim_{x \to 0 ^{+}} F(x) = \lim_{x \to 0 ^{-}} F(x) = F(0) = 0 \\ \\
\Rightarrow & C_{1} – 1 = C_{2} + 1 \\ \\
\Rightarrow & \textcolor{orange}{ \begin{cases}
C_{2} = C_{1} – 2 \\
C_{1} = C_{2} + 2
\end{cases} }
\end{aligned}
$$
于是：
$$
\textcolor{springgreen}{
\boldsymbol{
F (x) = \begin{cases}
( x-1 ) \mathrm{e}^{x} + C, & x \geqslant 0, \\
( 1-x ) \mathrm{e}^{x} + C – 2 , & x < 0
\end{cases}
}
}
$$
或者：
$$
\textcolor{springgreen}{
\boldsymbol{
F (x) = \begin{cases}
( x-1 ) \mathrm{e}^{x} + 2 + C, & x \geqslant 0, \\
( 1-x ) \mathrm{e}^{x} + C , & x < 0
\end{cases}
}
}
$$
解法二：利用变上限积分
已知：
$$
\max \left\{1, t^{2}\right\} = \begin{cases} t^{2}, & \mathrm{~d} t<-1 \\ 1, & -1 \leq t \leq 1 \\ t^{2}, & \mathrm{~d} t>1\end{cases}
$$
分析可知，$f(t)$ $=$ $\max \left\{1, t^{2}\right\}$ 其实是一个连续函数，于是，根据《变上限积分求原函数和不定积分求原函数的区别》这篇笔记可知，我们可以直接对函数 $f(t)$ 计算变上限积分，并且所得的原函数一定是连续的。
于是，我们有变限积分函数 $G(x)$：
$$
\begin{aligned}
G(x) \\ \\ \\
& = \int_{\textcolor{red}{0}}^{x} \max \left\{1, t^{2}\right\} \mathrm{~d} t \\ \\ \\
& = \begin{cases}
\int_{\textcolor{red}{0}}^{x} \max \left\{\textcolor{springgreen}{1}, \textcolor{orangered}{t^{2}} \right\} \mathrm{~d} t, & x<-1 \\ \\
\int\_{\textcolor{red}{0}}^{x} \max \left\{ \textcolor{springgreen}{1}, \textcolor{orangered}{t^{2}} \right\} \mathrm{~d} t, & -1 \leq x \leq 1 \\\ \\\ \int\_{\textcolor{red}{0}}^{x} \max \left\{ \textcolor{springgreen}{1}, \textcolor{orangered}{t^{2}} \right\} \mathrm{~d} t, & x>1 \end{cases} \\ \\ \\
\end{aligned}
$$
由于该变上限积分定义域的取值是从 $\textcolor{red}{0}$ 开始的，因此，需要对函数本身分段积分：
注意：
这里的分段积分是为了满足函数本身的定义，而不是对积分区间进行分段后再积分——只要不是在分段的区间上进行分段积分，就不需要考虑积分所得的原函数的连续性问题。
$$
\begin{aligned}
G(x) \\ \\
& = \begin{cases} \int_{\textcolor{red}{0}}^{-1} \textcolor{springgreen}{1} \mathrm{~d} t + \int_{-1}^{x} \textcolor{orangered}{t^{2}} \mathrm{~d} t, & x<-1 \\\ \\\ \int\_{\textcolor{red}{0}}^{x} \textcolor{springgreen}{1} \mathrm{~d} t, & -1 \leq x \leq 1 \\\ \\\ \int\_{\textcolor{red}{0}}^{1} \textcolor{springgreen}{1} \mathrm{~d} t+\int\_{1}^{x} \textcolor{orangered}{t^{2}} \mathrm{~d} t, & x>1 \end{cases} \\ \\ \\
& = \begin{cases} \frac{x^{3}}{3}-\frac{2}{3}, & x<-1 \\\ \\\ x, & -1 \leq x \leq 1 \\\ \\\ \frac{x^{3}}{3}+\frac{2}{3}, & x>1\end{cases}
\end{aligned}
$$
又因为不定积分与对应的变上限积分的差别就是多了一个任意常数 $\textcolor{yellow}{C}$, 因此：
$$
\begin{aligned}
\int \max \left\{1, x^{2}\right\} \mathrm{~d} x \\ \\ \\
& = \int_{0}^{x} \max \left\{1, t^{2}\right\} \mathrm{~d} t + \textcolor{yellow}{C} \\ \\ \\
& = \begin{cases} \frac{x^{3}}{3}-\frac{2}{3}+C, & \mathrm{~d} x<-1 \\ \\ x + C, & -1 \leq x \leq 1 \\ \\ \frac{x^{3}}{3}+\frac{2}{3}+C, & \mathrm{~d} x>1\end{cases}
\end{aligned}
$$
综上可知，本 题 应 选 B 
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