能用等号连接的条件就是“充要”条件

一、题目

$I$ $=$ $lim_{x \to \infty} \frac{e^{\sin \frac{1}{x}} - 1}{{(1 + \frac{1}{x})}^{k} - (1 + \frac{1}{x})}$ $=$ $a$ $\neq$ $0$ 成立的充要条件是 ( )

(A). $k \neq 1$

(B). $k > 1$

(C). $k > 0$

(D). 与 $k$ 无关

难度评级：

二、解析

解题思路分析

由于当 $x \to \infty$ 时， $\frac{1}{x} \to 0$ , 因此，我们首先尝试将式子 $I$ 转为包含无穷小量的式子，因为在工科考研数学中，无穷小相关的定理公式比无穷大多，解题思路能更开阔。

令 $\frac{1}{x} = t$ , 则

$\begin{aligned} I \\ = lim_{t \to 0} \frac{e^{\sin t} - 1}{(1 + t)^{k} - (1 + t)} \\ = lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{(1 + t) \times [(1 + t)^{k - 1} - 1]} \\ = lim_{t \to 0} \frac{t}{(1 + t) \times (k - 1) t} \\ = lim_{t \to 0} \frac{t}{1 \times (k - 1) t} \\ = \frac{1}{k - 1} = a \end{aligned}$

所以，若要保证 $a \neq 0$ , 只需要保证式子 $\frac{1}{k - 1}$ 有意义即可，也就是说，只要 $k \neq 1$ 即可。

等号连接的条件就是冲要条件

由于上面计算出 $I = \frac{1}{k - 1}$ 的过程都是用的等号，等号连接的就是充要条件，所以 $k \neq 1$ 就是 $I$ $=$ $lim_{x \to \infty} \frac{e^{\sin \frac{1}{x}} - 1}{{(1 + \frac{1}{x})}^{k} - (1 + \frac{1}{x})}$ $=$ $a$ $\neq$ $0$ 成立的充要条件。

综上可知，本题应选 A 荒原之梦考研数学 | 本文结束

一、题目

二、解析

解题思路分析

等号连接的条件就是冲要条件

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