一、题目
$I$ $=$ $\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{\mathrm{e}^{\sin \frac{1}{x}}-1}{\left(1+\frac{1}{x}\right)^{k}-\left(1+\frac{1}{x}\right)}$ $=$ $a$ $\neq$ $0$ 成立的充要条件是 ( )
(A). $k \neq 1$
(B). $k>1$
(C). $k>0$
(D). 与 $k$ 无关
难度评级：
二、解析 
解题思路分析
由于当 $x \rightarrow \infty$ 时，$\frac{1}{x} \rightarrow 0$, 因此，我们首先尝试将式子 $I$ 转为包含无穷小量的式子，因为在工科考研数学中，无穷小相关的定理公式比无穷大多，解题思路能更开阔。
令 $\frac{1}{x}=t$, 则
$$
\begin{aligned}
I \\ \\
& = \lim \limits_{t \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{sin} t}-1}{(1+t)^{k}-(1+t)} \\ \\
& = \lim \limits_{t \rightarrow 0} \frac{\sin t}{(1+t) \times \textcolor{orangered}{\left[(1+t)^{k-1}-1\right]} } \\ \\
& = \lim \limits_{t \rightarrow 0} \frac{t}{(1+t) \times \textcolor{orangered}{(k-1) t} } \\ \\
& = \lim \limits_{t \rightarrow 0} \frac{t}{1 \times (k-1) t } \\ \\
& = \frac{1}{k-1} = a
\end{aligned}
$$
所以，若要保证 $a \neq 0$, 只需要保证式子 $\frac{1}{k-1}$ 有意义即可，也就是说，只要 $k \neq 1$ 即可。
等号连接的条件就是冲要条件
由于上面计算出 $I = \frac{1}{k-1}$ 的过程都是用的等号，等号连接的就是充要条件，所以 $k \neq 1$ 就是 $I$ $=$ $\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{\mathrm{e}^{\sin \frac{1}{x}}-1}{\left(1+\frac{1}{x}\right)^{k}-\left(1+\frac{1}{x}\right)}$ $=$ $a$ $\neq$ $0$ 成立的充要条件。
综上可知，本 题 应 选 A 