0 乘以无穷大（∞）还是 0，震荡时无穷大不存在

一、题目

难度评级：

二、解析

$(A)$ 选项和 $(B)$ 选项

由题可知：

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^{2}} \rightarrow + \infty
$$

然而，当 $x \rightarrow 0$ 时，$\sin \frac{1}{x}$ 的值是在 $-1$ 和 $1$ 之间有界振荡的，并且，还会无数次经过 $y = 0$.

$(C)$ 选项和 $(D)$ 选项

当然，在本题中，我们也可以根据三角函数的特点，选取一些特殊的点进行判断。

首先，构造函数：

$$
f(x) = \frac{1}{x^{2}} \sin \frac{1}{x}
$$

由于 $\sin (\frac{\pi}{2} + 2 n \pi)$ $=$ $1$, 因此，若要令 $\sin \frac{1}{x_{n}} = 1$, 则可以取：

$$
x_{n}=\frac{1}{2 n \pi+\frac{\pi}{2}} \quad (n=1,2, \cdots)
$$

则当 $x_{n} \rightarrow 0$, 即 $n \rightarrow \infty$ 时，有：

$$
\begin{aligned}
\textcolor{springgreen}{\lim_{x_{n} \rightarrow 0} f\left(x_{n}\right) } \\ \\
& = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{1/(2n \pi + \frac{\pi}{2})^{2}} \cdot 1 \\ \\
& = \lim_{n \rightarrow \infty} (2n \pi + \frac{\pi}{2})^{2} \\ \\
& = \lim_{n \rightarrow \infty} [(2n + \frac{1}{2}) \pi ]^{2} \\ \\
& = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(2 n+\frac{1}{2}\right)^{2} \cdot \pi^{2} \\ \\
& \rightarrow \textcolor{springgreen}{ \infty }
\end{aligned}
$$

于是可知，当 $x \rightarrow 0$ 时，式子 $\frac{1}{x^{2}} \sin \frac{1}{x}$ 存在 不 是 无 穷 小 ，也 不 是 有 界 量 的情况。

接着，由于 $\sin \pi = 0$, 因此，若要令 $\sin \frac{1}{\bar{x}_{n}} = 0$, 可以令：

$$
\bar{x}_{n}=\frac{1}{n \pi} \quad (n=1,2, \cdots)
$$

于是，当 $\bar{x}_{n} \rightarrow 0$, 即 $n \rightarrow \infty$ 时，有：

$$
f\left(\bar{x}_{n}\right)=0
$$

于是可知，当 $x \rightarrow 0$ 时，式子 $\frac{1}{x^{2}} \sin \frac{1}{x}$ 存在 不 是 无 穷 大 的情况。

综上可知，本 题 应 选 C

---