0 乘以无穷大（∞）还是 0，震荡时无穷大不存在

一、题目

难度评级：

二、解析

$(A)$ 选项和 $(B)$ 选项

由题可知：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{x^2}\to +\mathrm{\infty }$$

然而，当 $x\to 0$ 时，$\sin \frac{1}{x}$ 的值是在 $-1$ 和 $1$ 之间有界振荡的，并且，还会无数次经过 $y=0$.

$(C)$ 选项和 $(D)$ 选项

当然，在本题中，我们也可以根据三角函数的特点，选取一些特殊的点进行判断。

首先，构造函数：

$$f(x)=\frac{1}{x^2}\sin \frac{1}{x}$$

由于 $\sin (\frac{\pi }{2}+2n\pi )$ $=$ $1$, 因此，若要令 $\sin \frac{1}{x_n}=1$, 则可以取：

$$x_n=\frac{1}{2n\pi +\frac{\pi }{2}}(n=1,2,\cdots )$$

则当 $x_n\to 0$, 即 $n\to \mathrm{\infty }$ 时，有：

$$\begin{array}{r}\underset{x_n\to 0}{lim}f\left(x_n\right)\\ \\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{1/(2n\pi +\frac{\pi }{2}{)}^2}\cdot 1\\ \\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(2n\pi +\frac{\pi }{2}{)}^2\\ \\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}[(2n+\frac{1}{2})\pi {]}^2\\ \\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(2n+\frac{1}{2})}^2\cdot {\pi }^2\\ \\ & \to \mathrm{\infty }\end{array}$$

于是可知，当 $x\to 0$ 时，式子 $\frac{1}{x^2}\sin \frac{1}{x}$ 存在 不 是 无 穷 小 ，也 不 是 有 界 量 的情况。

接着，由于 $\sin \pi =0$, 因此，若要令 $\sin \frac{1}{{\overline{x}}_n}=0$, 可以令：

$${\overline{x}}_n=\frac{1}{n\pi }(n=1,2,\cdots )$$

于是，当 ${\overline{x}}_n\to 0$, 即 $n\to \mathrm{\infty }$ 时，有：

$$f\left({\overline{x}}_n\right)=0$$

于是可知，当 $x\to 0$ 时，式子 $\frac{1}{x^2}\sin \frac{1}{x}$ 存在 不 是 无 穷 大 的情况。

综上可知，本 题 应 选 C

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