对涉及反三角函数的数列进行敛散性和单调性的判定

一、题目

难度评级：

二、解析

将函数自变量看作数列后具有的一些性质：

[01]. 如果将 $X$ 轴看作数列，那么，在无穷大的方向上，如 “$(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$” 这样的区间上，该数列可以看作是单调的无界不收敛数列；
[02]. 如果将 $X$ 轴看作数列，且将该数列的取值范围限制在一个有限的区间内，如 $[a,b]$, 那么，该数列就可以看作是单调的有界收敛数列。

对于 ①、② 说法

这两个选项都是涉及反三角函数 $y=\arctan x$ 的，那么，我们首先来看看该函数的函数图像，如图 01 所示：

由图 01 可知，随着自变量 $x$ 的增大或者减小，$y=\arctan x$ 始终具有单调性和有界性（收敛）。

于是，若令：

$$x_n=n$$

则：

$$\arctan x_n=\arctan n$$

即，数列 $\{\arctan n\}$ 收敛且单调，但数列 $\left\{x_n\right\}$ 发散。

综上，说法 ① 和 ② 都不正确。

对于 ③、④ 说法

这两个选项都是涉及反三角函数 $y=\arcsin x$ 的，那么，我们首先来看看该函数的函数图像，如图 02 所示：

由于 $\arcsin x$ 是连续函数，在区间 $[-1,1]$ 内的任一点都有对应的函数值，因此，当数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛于 $[-1,1]$ 区间内的一点，即下式的极限存在时：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=A$$

下式的极限也一定存在：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\arcsin x_n=\arcsin \left(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n\right)=\arcsin A$$

综上，说法 ③ 正确。

又由于 $\arcsin x$ 单调增加且有界，因此，当数列 $\left\{x_n\right\}$ 单调时，数列 $\{\arcsin x_n\}$ 一定也是单调有界的，即数列 $\{\arcsin x_n\}$ 收敛。

综上，说法 ④ 正确。

综上可知，说法 ③ 和 ④ 正确，本题应选 B