一、题目
已知数列 $\left\{x_{n}\right\}$，且有如下说法：
① 若 $\left\{\arctan x_{n}\right\}$ 收敛，则 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛
② 若 $\left\{\arctan x_{n}\right\}$ 单调，则 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛
③ 若 $x_{n} \in[-1,1]$, 且 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛，则 $\left\{\arcsin x_{n}\right\}$ 收敛
④ 若 $x_{n} \in[-1,1]$, 且 $\left\{x_{n}\right\}$ 单调，则 $\left\{\arcsin x_{n}\right\}$ 收敛
则上面的说法中，正确的是哪些？
(A). ① ②
(C). ① ③
(B). ③ ④
(D). ② ④
难度评级：
二、解析 
将函数自变量看作数列后具有的一些性质：
[01]. 如果将 $X$ 轴看作数列，那么，在无穷大的方向上，如 “$(- \infty, + \infty)$” 这样的区间上，该数列可以看作是单调的无界不收敛数列；
[02]. 如果将 $X$ 轴看作数列，且将该数列的取值范围限制在一个有限的区间内，如 $[a, b]$, 那么，该数列就可以看作是单调的有界收敛数列。
对于 ①、② 说法
这两个选项都是涉及反三角函数 $y = \arctan x$ 的，那么，我们首先来看看该函数的函数图像，如图 01 所示：
由图 01 可知，随着自变量 $x$ 的增大或者减小，$y = \arctan x$ 始终具有单调性和有界性（收敛）。
于是，若令：
$$
x_{n}=n
$$
则：
$$
\arctan x_{n}=\arctan n
$$
即，数列 $\{\arctan n\}$ 收敛且单调，但数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 发散。
综上，说法 ① 和 ② 都不正确。
对于 ③、④ 说法
这两个选项都是涉及反三角函数 $y = \arcsin x$ 的，那么，我们首先来看看该函数的函数图像，如图 02 所示：
由于 $\arcsin x$ 是连续函数，在区间 $[-1, 1]$ 内的任一点都有对应的函数值，因此，当数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛于 $[-1, 1]$ 区间内的一点，即下式的极限存在时：
$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n} = A
$$
下式的极限也一定存在：
$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \arcsin x_{n}=\arcsin \left(\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}\right) = \arcsin A
$$
综上，说法 ③ 正确。
又由于 $\arcsin x$ 单调增加且有界，因此，当数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 单调时，数列 $\left\{\arcsin x_{n}\right\}$ 一定也是单调有界的，即数列 $\left\{\arcsin x_{n}\right\}$ 收敛。
综上，说法 ④ 正确。
综上可知，说法 ③ 和 ④ 正确，本题应选 B 