极坐标系二重积分的转换坐标系和调换积分次序的计算

一、题目

(A) ${\int }_0^1$ $\mathrm{d}x$ ${\int }_0^{1}f\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)$ $\mathrm{d}y$

(B) ${\int }_0^1$ $\mathrm{d}x$ ${\int }_1^{x}f\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)$ $\mathrm{d}y$

(C) ${\int }_0^1$ $\mathrm{d}r$ ${\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}$ $f(r)r\mathrm{d}\sigma$ $+$ ${\int }_1^{\sqrt{2}}$ $\mathrm{d}r$ ${\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\arcsin \frac{1}{r}}$ $f(r)r$ $\mathrm{d}\sigma$

(D) ${\int }_0^{\sqrt{2}}$ $\mathrm{dr}$ ${\int }_{\arcsin \frac{1}{\mathrm{r}}}^{\frac{\pi }{4}}$ $f(\mathrm{r})$ $\mathrm{d}\sigma$

难度评级：

二、解析

根据题目，我们可以确定 $\theta$ 和 $r$ 的取值范围是：

$$\theta \in (\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2})\mathrm{d}r\in (0,\frac{1}{\sin \theta })$$

以及 $r$ 的表达式：

$$r=\frac{1}{\sin \theta }\Rightarrow r\sin \theta =1\Rightarrow x=1$$

于是，我们可以绘制出如图 01 绿色部分所示的积分区域：

于是，根据上面的积分区域和极坐标系下二重积分转直角坐标系下二次积分的定理，有：

$${\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}\mathrm{d}\sigma {\int }_0^{\frac{1}{\sin \theta }}f(\mathit{r})r\mathrm{d}r={\int }_0^1\mathrm{d}x{\int }_x^{1}f\left(\sqrt{{\mathit{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathit{y}}^{\mathbf{2}}}\right)\mathrm{d}y$$

于是可知，选项 A 和 B 都不正确。

选项 C 和 D 考察的是对极坐标系直接进行积分次序的交换。

我们交换题目中所给的极坐标系下的二重积分的积分次序，可得：

$$\begin{array}{rl}& {\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}\mathrm{d}\sigma {\int }_0^{\frac{1}{\sin \theta }}f(r)r\mathrm{d}r\\ \\ & ={\int }_0^1\mathrm{d}r{\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}f(r)r\mathrm{d}\sigma +{\int }_1^{\sqrt{2}}\mathrm{d}r{\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\arcsin \frac{1}{r}}f(r)r\mathrm{d}\sigma \end{array}$$

综上可知，本题应选 C .

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