利用奇偶性和对称性直接计算极坐标系下的二重积分

一、题目

难度评级：

二、解析

极坐标系下二重积分的计算一般有以下四种方式，在本题中，我们将利用前三种方式解决本题：
[01]. 利用被积函数的奇偶性
[02]. 利用积分区域的对称性
[03]. 转换为极坐标系下的二重累次积分
[04]. 转换为直角坐标系下的二重累次积分

对于二重积分的计算，我们一般从分析其积分区域的特征开始。

本题的积分区域 $D=x^2+y^2\le 1$ 是圆心位于原点，半径长度为 $1$ 的圆，如图 01 所示：

上面是对积分区域的分析，下面是具体的计算步骤。

需要注意的是，为了简化书写，我们用符号 $D$ 表示具体的积分区域表达式 “$x^2+y^2\le 1$”.

首先，尝试将被积函数开平方，看看能否找到一些可以利用的性质：

$$\begin{array}{r}I\\ & ={\iint }_D(2x+3y{)}^2\mathrm{d}\sigma \\ \\ & ={\iint }_D(4x^2+9y^2+12xy)\mathrm{d}\sigma \end{array}$$

由于上式中的 “$12xy$” 是关于 $x$ 的奇函数（当然也是关于 $y$ 的奇函数），且积分区域 $D$ 关于 $Y$ 轴对称（当然也关于 $X$ 轴对称），因此：

$${\iint }_{D}12xy=0$$

于是：

$$I={\iint }_D(4x^2+9y^2)\mathrm{d}\sigma$$

当然，由于积分区域 $D$ 关于直线 $y=x$ 对称，因此：

$${\iint }_D(4x^2+9y^2)\mathrm{d}\sigma ={\iint }_D(4y^2+9x^2)\mathrm{d}\sigma$$

因此：

$$\begin{array}{r}I\\ & =\frac{1}{2}[{\iint }_D(4x^2+9y^2)\mathrm{d}\sigma +{\iint }_D(9x^2+4y^2)\mathrm{d}\sigma ]\\ \\ & =\frac{1}{2}{\iint }_D(13x^2+13y^2)\mathrm{d}\sigma \\ \\ & =\frac{1}{2}\times 13{\iint }_D(x^2+y^2)\mathrm{d}\sigma \\ \\ & =\frac{1}{2}\times 13{\iint }_D(x^2+y^2)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ \\ & =\frac{1}{2}\times 13{\iint }_D(x^2+y^2)r\cdot \mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \\ \\ & \underrightarrow{x^2+y^2=r^2}\frac{13}{2}{\iint }_D{r}^2\cdot r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \\ \\ & =\frac{13}{2}{\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_0^1{r}^3\mathrm{d}r\\ \\ & =\frac{13}{2}\cdot \frac{1}{4}{\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta \\ \\ & =\frac{13}{2}\cdot \frac{1}{4}2\pi \\ \\ & =\frac{13}{4}\pi \end{array}$$

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