利用奇偶性和对称性直接计算极坐标系下的二重积分

一、题目

难度评级：

二、解析

极坐标系下二重积分的计算一般有以下四种方式，在本题中，我们将利用前三种方式解决本题：
[01]. 利用被积函数的奇偶性
[02]. 利用积分区域的对称性
[03]. 转换为极坐标系下的二重累次积分
[04]. 转换为直角坐标系下的二重累次积分

对于二重积分的计算，我们一般从分析其积分区域的特征开始。

本题的积分区域 $D = { x^{2}+y^{2} \leq 1 }$ 是圆心位于原点，半径长度为 $1$ 的圆，如图 01 所示：

上面是对积分区域的分析，下面是具体的计算步骤。

需要注意的是，为了简化书写，我们用符号 $D$ 表示具体的积分区域表达式 “$x^{2}+y^{2} \leq 1$”.

首先，尝试将被积函数开平方，看看能否找到一些可以利用的性质：

$$
\begin{aligned}
I \\
& = \iint_{D}(2 x+3 y)^{2} \mathrm{~d} \sigma \\ \\
& = \iint_{D}\left(4 x^{2} + 9 y^{2} + \textcolor{orangered}{12 x y} \right) \mathrm{~d} \sigma
\end{aligned}
$$

由于上式中的 “$\textcolor{orangered}{12 x y}$” 是关于 $x$ 的奇函数（当然也是关于 $y$ 的奇函数），且积分区域 $D$ 关于 $Y$ 轴对称（当然也关于 $X$ 轴对称），因此：

$$
\iint_{D} \textcolor{orangered}{12 x y} = 0
$$

于是：

$$
I = \iint_{D}\left(4 x^{2}+9 y^{2}\right) \mathrm{~d} \sigma
$$

当然，由于积分区域 $D$ 关于直线 $y = x$ 对称，因此：

$$
\iint_{D}\left(4 \textcolor{springgreen}{x^{2}} + 9 \textcolor{orangered}{y^{2}} \right) \mathrm{~d} \sigma = \iint_{D}\left(4 \textcolor{orangered}{y^{2}} + 9 \textcolor{springgreen}{x^{2}} \right) \mathrm{~d} \sigma
$$

因此：

$$
\begin{aligned}
I \\
& = \frac{1}{2} \left[ \iint_{D}\left( 4 x^{2} + 9 y^{2}\right) \mathrm{~d} \sigma + \iint_{D}\left( 9 x^{2} + 4 y^{2}\right) \mathrm{~d} \sigma \right] \\ \\
& = \frac{1}{2} \iint_{D}\left( 13 x^{2} + 13 y^{2}\right) \mathrm{~d} \sigma \\ \\
& = \frac{1}{2} \times 13 \iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) \textcolor{springgreen}{\mathrm{~d} \sigma} \\ \\
& = \frac{1}{2} \times 13 \iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) \textcolor{springgreen}{\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y} \\ \\
& = \frac{1}{2} \times 13 \iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) \textcolor{springgreen}{r \cdot \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \theta} \\ \\
& \underrightarrow{x^{2} + y^{2} = r^{2} \quad } \quad \frac{13}{2} \iint_{D} r^{2} \cdot r \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \theta \\ \\
& = \frac{13}{2} \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{1} r^{3} \mathrm{~d} r \\ \\
& = \frac{13}{2} \cdot \frac{1}{4} \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \\ \\
& = \frac{13}{2} \cdot \frac{1}{4} 2 \pi \\ \\
& = \frac{13}{4} \pi
\end{aligned}
$$

---