你会用“逆向洛必达运算”解题吗？

一、题目

(A) $x=0$ 为 $f(x)$ 的极小值点

(B) $x=0$ 为 $f(x)$ 的极大值点

(C) $x=0$ 不是 $f(x)$ 的极值点，$(0, f(0))$ 也不是曲线 $y = f(x)$ 的拐点

(D) $(0, f(0))$ 为曲线 $y = f(x)$ 的拐点

难度评级：

二、解析

分析可知，式子 $I$ 的极限是存在的，且当 $x \rightarrow 0$ 的时候，其分母 “$\int_{0}^{x} \ln \cos (x-t) \mathrm{~d} t$” 趋于零，那么，与之对应的，当 $x \rightarrow 0$ 的时候，其分子 “$\sqrt{1-f(x)}-1$” 也应该趋于零，即：
$\lim \limits_{x \rightarrow 0} f(x) = 0$,
式子 $I$ 是一个 “$\frac{0}{0}$” 型的极限。

由于 “$\int_{0}^{x} \ln \cos (x-t) \mathrm{~d} t$” 是一个变限积分，我们很可能要对变限积分做求导运算，但是，对该式子直接进行变限积分求导是做不到的，因此，根据《变限积分求导的常见方法》这篇笔记，我们只能先做代换，令：

$$
u=x-t
$$

则：

$$
\begin{cases}
x \in (0, x) \Rightarrow u \in (x, 0) \\
\mathrm{d} t = \mathrm{d} (x – u) = – \mathrm{d} u
\end{cases}
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
\int_{0}^{x} \ln \cos (x-t) d t \\
& = -\int_{x}^{0} \ln \cos u d u \\ \\
& = \int_{0}^{x} \ln \cos u d u
\end{aligned}
$$

从而，对于式子 $I$, 我们有：

$$
\begin{aligned}
I = -1 \\
& = \lim \limits_{\underset{f(x) \rightarrow 0}{x \rightarrow 0}} \frac{\sqrt{1-f(x)}-1}{\int_{0}^{x} \ln \cos (x-t) d t} \\ \\
& = \lim \limits_{\underset{f(x) \rightarrow 0}{x \rightarrow 0}} \frac{[1-f(x)]^{\frac{1}{2}} – 1}{\int_{0}^{x} \ln \cos (x-t) d t} \\ \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{-\frac{1}{2} f(x)}{\int_{0}^{x} \ln \cos u d u} \\ \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{-\frac{1}{2} f^{\prime}(x)}{\ln \cos x} \\ \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(x)}{x^{2}} \\ \\
& = \textcolor{springgreen}{ \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime \prime}(x)}{2 x} = -1 }
\end{aligned}
$$

由于本题是选择题，因此，接下来有两种解法：

解法一：特例法

若令：

$$
f(x) = \frac{-1}{3} x^{3}
$$

则：

$$
f^{\prime} (x) = -x^{2}
$$

$$
f^{\prime \prime} (x) = -2x
$$

此时的 $f(x)$ $=$ $\frac{-1}{3} x^{3}$，满足条件 $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime \prime}(x)}{2 x}$ $=$ $-1$

但是，根据 $f(x)$ $=$ $\frac{-1}{3} x^{3}$ 的函数图像可知，$x = 0$ 既不是其极大值点，也不是其极小值点，而是其拐点，因此，只有 D 选项正确 。

解法二：逆向洛必达运算

根据逆向洛必达运算，我们有：

$$
\begin{aligned}
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime \prime}(x)}{2 x} = -1 \\
& \Rightarrow \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(x)}{x^{2}} = -1 \\ \\
& \Rightarrow \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\frac{1}{3}x^{3}} = -1 \\
\end{aligned}
$$

上面的式子都是 $\frac{0}{0}$ 型不等式，因此，我们可以知道：

$$
\begin{cases}
\lim \limits_{x \rightarrow 0} f^{\prime}(x) = 0 \\
\textcolor{springgreen}{\lim \limits_{x \rightarrow 0} f^{\prime \prime}(x) = 0}
\end{cases}
$$

由于 $f(x)$ 在 $x = 0$ 的邻域内只有二阶可导，因此，我们想求解三阶导 $f^{\prime \prime \prime}(x)$ 只能使用一点处导数的定义求解：

$$
\begin{aligned}
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime \prime}(x)}{2 x} \\ \\
& = \frac{1}{2} \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime \prime}(x)}{x} \\ \\
& = \frac{1}{2} \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime \prime}(x)-f^{\prime \prime}(0)}{x} \\ \\
& = \frac{1}{2} f^{\prime \prime \prime}(0) = -1
\end{aligned}
$$

即：

$$
\textcolor{springgreen}{
f^{\prime \prime \prime}(0) = -2
}
$$

由于二阶导等于零且三阶导不等于零的点一定是拐点，所以 本题应选 D .

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