你会用“逆向洛必达运算”解题吗？

一、题目

(A) $x=0$ 为 $f(x)$ 的极小值点

(B) $x=0$ 为 $f(x)$ 的极大值点

(C) $x=0$ 不是 $f(x)$ 的极值点，$(0,f(0))$ 也不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点

(D) $(0,f(0))$ 为曲线 $y=f(x)$ 的拐点

难度评级：

二、解析

分析可知，式子 $I$ 的极限是存在的，且当 $x\to 0$ 的时候，其分母 “${\int }_0^x\ln \cos (x-t)\mathrm{d}t$” 趋于零，那么，与之对应的，当 $x\to 0$ 的时候，其分子 “$\sqrt{1-f(x)}-1$” 也应该趋于零，即：
$\underset{x\to 0}{lim}f(x)=0$,
式子 $I$ 是一个 “$\frac{0}{0}$” 型的极限。

由于 “${\int }_0^x\ln \cos (x-t)\mathrm{d}t$” 是一个变限积分，我们很可能要对变限积分做求导运算，但是，对该式子直接进行变限积分求导是做不到的，因此，根据《变限积分求导的常见方法》这篇笔记，我们只能先做代换，令：

$$u=x-t$$

则：

$$\{\begin{array}{l}x\in (0,x)\Rightarrow u\in (x,0)\\ \mathrm{d}t=\mathrm{d}(x–u)=–\mathrm{d}u\end{array}$$

于是：

$$\begin{array}{r}{\int }_0^x\ln \cos (x-t)dt\\ & =-{\int }_x^0\ln \cos udu\\ \\ & ={\int }_0^x\ln \cos udu\end{array}$$

从而，对于式子 $I$, 我们有：

$$\begin{array}{r}I=-1\\ & =\underset{\underset{f(x)\to 0}{x\to 0}}{lim}\frac{\sqrt{1-f(x)}-1}{{\int }_0^x\ln \cos (x-t)dt}\\ \\ & =\underset{\underset{f(x)\to 0}{x\to 0}}{lim}\frac{[1-f(x){]}^{\frac{1}{2}}–1}{{\int }_0^x\ln \cos (x-t)dt}\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{-\frac{1}{2}f(x)}{{\int }_0^x\ln \cos udu}\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{-\frac{1}{2}{f}^{\prime }(x)}{\ln \cos x}\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{x^2}\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{f^{\prime \prime }(x)}{2x}=-1\end{array}$$

由于本题是选择题，因此，接下来有两种解法：

解法一：特例法

若令：

$$f(x)=\frac{-1}{3}{x}^3$$

则：

$$f^{\prime }(x)=-x^2$$

$$f^{\prime \prime }(x)=-2x$$

此时的 $f(x)$ $=$ $\frac{-1}{3}{x}^3$，满足条件 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{f^{\prime \prime }(x)}{2x}$ $=$ $-1$

但是，根据 $f(x)$ $=$ $\frac{-1}{3}{x}^3$ 的函数图像可知，$x=0$ 既不是其极大值点，也不是其极小值点，而是其拐点，因此，只有 D 选项正确 。

解法二：逆向洛必达运算

根据逆向洛必达运算，我们有：

$$\begin{array}{r}\underset{x\to 0}{lim}\frac{f^{\prime \prime }(x)}{2x}=-1\\ & \Rightarrow \underset{x\to 0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{x^2}=-1\\ \\ & \Rightarrow \underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)}{\frac{1}{3}{x}^3}=-1\end{array}$$

上面的式子都是 $\frac{0}{0}$ 型不等式，因此，我们可以知道：

$$\{\begin{array}{l}\underset{x\to 0}{lim}{f}^{\prime }(x)=0\\ \underset{x\to 0}{lim}{f}^{\prime \prime }(x)=0\end{array}$$

由于 $f(x)$ 在 $x=0$ 的邻域内只有二阶可导，因此，我们想求解三阶导 $f^{\prime \prime \prime }(x)$ 只能使用一点处导数的定义求解：

$$\begin{array}{r}\underset{x\to 0}{lim}\frac{f^{\prime \prime }(x)}{2x}\\ \\ & =\frac{1}{2}\underset{x\to 0}{lim}\frac{f^{\prime \prime }(x)}{x}\\ \\ & =\frac{1}{2}\underset{x\to 0}{lim}\frac{f^{\prime \prime }(x)-f^{\prime \prime }(0)}{x}\\ \\ & =\frac{1}{2}{f}^{\prime \prime \prime }(0)=-1\end{array}$$

即：

$$f^{\prime \prime \prime }(0)=-2$$

由于二阶导等于零且三阶导不等于零的点一定是拐点，所以 本题应选 D .

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