2024年考研数二第07题解析：积分敛散性的判别

一、题目

设非负函数 $f(x)$ 在 $[0,+\mathrm{\infty })$ 上连续, 给出以下三个命题：

(1)若 ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{f}^2(x)\mathrm{d}x$ 收敛, 则 ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x$ 收敛.

(2)若存在 $p>1$, 使得 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}^{p}f(x)$ 存在, 则 ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x$ 收敛.

(3)若 ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x$ 收敛, 则存在 $p>1$, 使得 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}^{p}f(x)$ 存在.

其中真命题个数为（ ）

难度评级：

二、解析

第 (1) 项

已知，当 $a>0$ 时，有：

$${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^p}\mathrm{d}x\{\begin{array}{ll}\mathrm{收}\mathrm{敛},& p>1\\ \mathrm{发}\mathrm{散},& p⩽1\end{array}$$

所以，若令：

$$f(x)=\frac{1}{x}$$

则，下式收敛：

$${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{f}^2(x)\mathrm{d}x={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^2}\mathrm{d}x$$

但是，下式发散：

$${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{x}\mathrm{d}x$$

所以第（1）项错误。

第 (2) 项

与上面的判断方式相同，由于当 $p>1$ 时，下式收敛：

$${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^p}\mathrm{d}x$$

若此时 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}^{p}f(x)$ 存在, 则说明：

$$\begin{array}{rl}& \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}^{p}f(x)=A\Rightarrow \\ & \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{A}{x^p}\end{array}$$

因此：

$${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{A}{x^p}\mathrm{d}x=A{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^p}\mathrm{d}x$$

由于 ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^p}\mathrm{d}x$ 收敛，所以下式一定收敛：

$${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x$$

于是可知，第 (2) 项正确。

第 (3) 项

很明显，第 (3) 项就是第 (2) 项的反命题，由于第 (2) 项正确，所以第 (3) 项很可能不正确。

进一步，分析可知，若要证明 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}^{p}f(x)$ 存在，则要证明下式收敛：

$${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{x}^{p}f(x)\mathrm{d}x$$

但是，由 ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x$ 收敛，我们只能得出极限 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)$ 存在这一结论。

同时，当 $p>1$ 时，$x^{2}f(x)⩾f(x)$, 因此，根据积分收敛的比较定理，此时无法判断 ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{x}^{p}f(x)\mathrm{d}x$ 是否收敛，也就无法判断极限 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}^{p}f(x)$ 是否存在。

因此，第 (3) 项错误。

此外，我们还可以通过特例进行判断。

若令：

$$f(x)=\frac{1}{(x+1){\ln }^2(x+1)}$$

则，下式收敛：

$$\begin{array}{r}{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x\\ \\ & ={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{(x+1){\ln }^2(x+1)}\mathrm{d}x\\ \\ & =–{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}1\mathrm{d}\left[\frac{1}{\ln (x+1)}\right]\\ \\ & =-{\frac{1}{\ln (x+1)}|}_0^{+\mathrm{\infty }}\\ \\ & =\ln 2\end{array}$$

但是，对于任意的 $p>1$, 下面的极限不存在：

$$\begin{array}{r}\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}^{p}f(x)\\ \\ & =\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}^p\frac{1}{(x+2){\ln }^2(x+2)}\\ \\ & =\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^p}{x{\ln }^{2}x}\end{array}$$

由于 $\ln x$ 与远小于 $x$, 则 ${\ln }^{2}x$ 也远小于 $x^2$, 即 $x{\ln }^{2}x$ 远小于 $x^3$, 因此，对于任意的 $p>1$, 我们不能保证极限 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^p}{x{\ln }^{2}x}$ 一定存在，因此，极限 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}^{p}f(x)$ 也不一定存在。

所以第 (3) 项错误。

综上可知，本题应选 B .