第一类曲线积分的物理意义及计算方法

一、前言

第一类曲线积分的形式一般是：

$${\int }_{L}f(x,y)\mathrm{d}s$$

那么，如何从物理上理解这类曲线积分计算结果的含义呢？又应该怎么计算第一类曲线积分呢？在下文中，荒原之梦网将给出详细的解答。

二、正文

物理意义

第一类曲线积分可以看作是求解一段质量不均匀的金属丝的质量。其中，二元函数 “$f(x,y)$” 是该金属丝的线密度，微分 “$\mathrm{d}s$” 可以看作将该金属丝分割成非常小的“段”，”$L$” 则是该金属丝在空间中的数学表示。

计算方法

确定 “$\mathrm{d}s$” 的表达式

由于第一类曲线积分中的曲线一定是位于 $XOY$ 平面的平面曲线，因此，根据平面曲线的弧长计算公式：

1. 当 $L:y=f(x)$, $a⩽x⩽b$ 时：

$$\mathrm{d}s={\int }_a^b\sqrt{1+f^{\prime 2}(x)}\mathrm{d}x$$

2. 当 $L:\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\end{array}$, $a⩽x⩽b$ 时：

$$\mathrm{d}s={\int }_a^b\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}}\mathrm{d}t$$

3. 当 $L:\rho =\rho (\theta )$, $\alpha ⩽\theta ⩽\beta$, 时：

$$\mathrm{d}s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{{\rho }^2(\theta )+{\rho }^{\prime 2}(\theta )}\mathrm{d}\theta$$

确定曲线的取值区域

确定曲线的取值区域，就是在坐标轴上确定曲线横坐标 $x$ 的取值范围。

例题 01

已知 $L$ 为连接 $(1,0)$ 及 $(0,1)$ 两点的直线段, 则曲线积分 ${\int }_L(x+y)\mathrm{d}s=?$

解析 01

画图可知，题目中所给的曲线 $L$ 为：

$$y=-x+1\Rightarrow x+y=1$$

取值范围是：

$$0⩽x⩽1$$

$$0⩽y⩽1$$

于是：

$$\begin{array}{r}{\int }_L(x+y)\mathrm{d}s\\ & ={\int }_0^1(x+y)\sqrt{1+y^{\prime 2}(x)}\mathrm{d}x\\ & ={\int }_0^{1}1\cdot \sqrt{1+1}\mathrm{d}x\\ & =\sqrt{2}{\int }_0^1\mathrm{d}x\\ & =\sqrt{2}\cdot 1\\ & =\sqrt{2}\end{array}$$

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