遇到不显含 $x$ 的微分方程先考虑降阶

一、题目

已知 $y=y(x)$ 满足方程 $2 y y^{\prime \prime}-y^{\prime 2}=1$ $(y>0)$, 且 $y(0)=1$, $y^{\prime}(0)=0$, 则 $y(x) = ?$

难度评级：

二、解析

由于题目中的微分方程 $2 y y^{\prime \prime}-y^{\prime 2}=1$ 不显含 $x$, 因此，首先进行降阶操作，将二阶微分方程降为一阶微分方程，之后，再按照一阶微分方程的计算方式完成接下来的求解。

令 $y^{\prime}=p$, 则：

$$
\textcolor{orangered}{
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = p } \tag{1}
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d} ^{2} y}{\mathrm{d} x^{2}} \\
& = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \left( \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} \right) \\
& = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} y} \left( \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} \right) \cdot \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} \\
& = \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{~d} y} \cdot p
\end{aligned}
$$

即：

$$
\textcolor{orangered}{
y^{\prime \prime} = \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{~d} y} \cdot p } \tag{2}
$$

将 $(1)$, $(2)$ 式代入方程 $2 y y^{\prime \prime}-y^{\prime 2}=1$, 得：

$$
\textcolor{springgreen}{
2 y p \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{~d} y}-p^{2}=1
}
$$

整理，得：

$$
\frac{2 p}{1+p^{2}} \mathrm{~d} p=\frac{\mathrm{d} y}{y}
$$

对上式等号两边同时积分，得：

$$
\ln \left(1+p^{2}\right)=\ln y+\ln C_{1}
$$

对上式等号两端同时去掉对数 “$\ln$”, 得：

$$
\textcolor{springgreen}{
1+p^{2}=C_{1} y } \tag{3}
$$

将 $y(0)=1$, $y^{\prime}(0)=0$ 代入 $(3)$ 式，得：

$$
C_{1}=1
$$

即：

$$
y^{\prime}=\sqrt{y-1} \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{springgreen}{
\frac{\mathrm{d} y}{\sqrt{y-1}}=\mathrm{d} x } \tag{4}
$$

对 $(4)$ 式等号两端同时积分，得：

$$
\textcolor{springgreen}{
2 \sqrt{y-1}=x+C_{2}
} \tag{5}
$$

将 $y(0)=1$ 代入 $(5)$ 式，得：

$$
C_{2}=0
$$

综上可得：

$$
\textcolor{springgreen}{
\boldsymbol{
y=1+\frac{x^{2}}{4}
}}
$$

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