第一类曲线积分的物理意义及计算方法

一、前言

第一类曲线积分的形式一般是：

$$
\int_{L} f(x, y) \mathrm{~d} s
$$

那么，如何从物理上理解这类曲线积分计算结果的含义呢？又应该怎么计算第一类曲线积分呢？在下文中，荒原之梦网将给出详细的解答。

二、正文

物理意义

第一类曲线积分可以看作是求解一段质量不均匀的金属丝的质量。其中，二元函数 “$f(x, y)$” 是该金属丝的线密度，微分 “$\mathrm{~d} s$” 可以看作将该金属丝分割成非常小的“段”，”$L$” 则是该金属丝在空间中的数学表示。

计算方法

确定 “$\mathrm{~d} s$” 的表达式

由于第一类曲线积分中的曲线一定是位于 $XOY$ 平面的平面曲线，因此，根据平面曲线的弧长计算公式：

1. 当 $L: y = f(x)$, $a \leqslant x \leqslant b$ 时：

$$
\mathrm{~d} s = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + f^{\prime 2} (x)} \mathrm{~d} x
$$

2. 当 $L: \begin{cases}
   x = x(t) \\
   y = y(t)
   \end{cases}$, $a \leqslant x \leqslant b$ 时：

$$
\mathrm{~d} s = \int_{a}^{b} \sqrt{x^{\prime 2}(t) + y^{\prime 2}} \mathrm{~d} t
$$

3. 当 $L: \rho = \rho (\theta)$, $\alpha \leqslant \theta \leqslant \beta$, 时：

$$
\mathrm{~d} s = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{\rho^{2}(\theta) + \rho^{\prime 2}(\theta)} \mathrm{~d} \theta
$$

确定曲线的取值区域

确定曲线的取值区域，就是在坐标轴上确定曲线横坐标 $x$ 的取值范围。

例题 01

已知 $L$ 为连接 $(1,0)$ 及 $(0,1)$ 两点的直线段, 则曲线积分 $\int_{L}(x+y) \mathrm{~d} s=?$

解析 01

画图可知，题目中所给的曲线 $L$ 为：

$$
y=-x+1 \Rightarrow x+y=1
$$

取值范围是：

$$
0 \leqslant x \leqslant 1
$$

$$
0 \leqslant y \leqslant 1
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
\int_{L}(x+y) \mathrm{~d} s \\
& = \int_{0}^{1}(x+y) \sqrt{1 + y^{\prime 2}(x)} \mathrm{~d} x \\
& = \int_{0}^{1} 1 \cdot \sqrt{1+1} \mathrm{~d} x \\
& = \sqrt{2} \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \\
& = \sqrt{2} \cdot 1 \\
& = \sqrt{2}
\end{aligned}
$$

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