表达形式上不相同的导数值不一定不相等

一、题目

已知 $f(x)=|x-a|g(x)$, 其中函数 $g(x)$ 连续，请讨论一阶导函数 $f^{\prime }(a)$ 的存在性。

难度评级：

二、解析

根据一点处导数的定义，当 $x\to a^{-}$ 时，有：

$$\begin{array}{r}{f}^{\prime }(a^{-})\\ \\ & =\underset{x\to a^{-}}{lim}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\\ \\ & =\underset{x\to a^{-}}{lim}\frac{|x-a|g(x)}{x-a}\\ \\ & =\underset{x\to a^{-}}{lim}\frac{-(x-a)g(x)}{x-a}\\ \\ & =-\underset{x\to a^{-}}{lim}g(x)\\ \\ & =–g(a)\end{array}$$

同理，当 $x\to a^{+}$ 时，有：

$$\begin{array}{r}{f}^{\prime }(a^{+})\\ \\ & =\underset{x\to a^{+}}{lim}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\\ \\ & =\underset{x\to a^{+}}{lim}\frac{|x-a|g(x)}{x-a}\\ \\ & =\underset{x\to a^{+}}{lim}\frac{+(x-a)g(x)}{x-a}\\ \\ & =\underset{x\to a^{+}}{lim}g(x)\\ \\ & =g(a)\end{array}$$

接下来是本题的重点内容。

虽然，$f^{\prime }(a^{-})$ 和 $f^{\prime }(a^{+})$ 的表达形式不相同：

$$\{\begin{array}{l}{f}^{\prime }(a^{-})=–g(a)\\ f^{\prime }(a^{+})=g(a)\end{array}$$

但是，这并不意味着 $f^{\prime }(a^{-})$ 和 $f^{\prime }(a^{+})$ 一定不相等，因为可能存在 $f^{\prime }(a^{-})$ $=$ $f^{\prime }(a^{+})$ $=$ $0$ 这种情况。

接下来需要进行分类讨论。

因此，当 $g(a)=0$ 时：

$$g(a)=–g(a)=0\Rightarrow$$

$$f^{\prime }(a^{-})=f^{\prime }(a^{+})$$

此时，$f(x)$ 在 $x=a$ 处可导，且 $f^{\prime }(a)=0$.

同理，当 $g(a)\ne 0$ 时：

$$g(a)\ne –g(a)\Rightarrow$$

$$f^{\prime }(a^{-})\ne f^{\prime }(a^{+})$$

此时，$f(x)$ 在 $x=a$ 处不可导。

---