这个分子可以首先进行有理化操作吗?

一、题目题目 - 荒原之梦

已知:

I=limx0earctanxearcsinxx3

则:

I = ?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

虽然在 x0 的时候,本题中的式子 earctanxearcsinxx3 呈现出 110=00 的形式,但是,本题并不能像这道题目一样对分子进行有理化操作,而是应该提取次幂:

I=limx0earctanxearcsinxx3=limx0earcsinxearctanxarcsinx1x3=limx0arctanxarcsinxx3

又根据等价无穷小公式可知,当 x0 的时候:

arcsinxarctanx12x3arctanxarcsinx12x3

于是:

I=limx0arctanxarcsinxx3=limx012x3x3=12

或者:

I=limx0arctanxarcsinxx3 洛必达运算 =limx011+x211x23x2=13[limx0(1+x2)11x2limx0(1x2)121x2]=13[limx0x2x2limx0(12)(x2)x2]=13(112)=12


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