这个分子可以首先进行有理化操作吗？

一、题目

已知：

$$
\begin{aligned}
I & = \\ \\
& \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{\arctan x}-\mathrm{e}^{\arcsin x}}{x^{3}}
\end{aligned}
$$

则：

$$
I \ = \ ?
$$

难度评级：

二、解析

虽然在 $x \rightarrow 0$ 的时候，本题中的式子 $\frac{\mathrm{e}^{\arctan x}-\mathrm{e}^{\arcsin x}}{x^{3}}$ 呈现出 $\frac{1 – 1}{0} = \frac{0}{0}$ 的形式，但是，本题并不能像这道题目一样对分子进行有理化操作，而是应该提取次幂：

$$
\begin{aligned}
I \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{\arctan x}-\mathrm{e}^{\arcsin x}}{x^{3}} \\ \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow 0} \mathrm{e}^{\arcsin x} \cdot \frac{\mathrm{e}^{\arctan x-\arcsin x}-1}{x^{3}} \\ \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{ \arctan x-\arcsin x}{x^{3}} \\ \\
\end{aligned}
$$

又根据等价无穷小公式可知，当 $x \rightarrow 0$ 的时候：

$$
\begin{aligned}
\arcsin x – \arctan x & \sim \frac{1}{2} x^{3} \\ \\
\arctan x – \arcsin x & \sim \frac{-1}{2} x^{3}
\end{aligned}
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
I \\ \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{ \arctan x-\arcsin x}{x^{3}} \\ \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{ \frac{-1}{2} x^{3} }{x^{3}} \\ \\
& = \frac{-1}{2}
\end{aligned}
$$

或者：

$$
\begin{aligned}
I \\ \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\arctan x-\arcsin x}{x^{3}} \\ \\
& \Rightarrow \text{ 洛必达运算 } \Rightarrow \\ \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{1+x^{2}}-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}}{3 x^{2}} \\ \\
& = \frac{1}{3}\left[\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\left(1+x^{2}\right)^{-1}-1}{x^{2}}-\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\left(1-x^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}-1}{x^{2}}\right] \\ \\
& = \frac{1}{3}\left[\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{-x^{2}}{x^{2}}-\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-x^{2}\right)}{x^{2}}\right] \\ \\
& = \frac{1}{3} (-1 – \frac{1}{2}) \\ \\
& = \frac{-1}{2}
\end{aligned}
$$

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