这个分子可以首先进行有理化操作吗？

一、题目

已知：

$$\begin{array}{rl}I& =\\ \\ & \underset{x\to 0}{lim}\frac{{\mathrm{e}}^{\arctan x}-{\mathrm{e}}^{\arcsin x}}{x^3}\end{array}$$

则：

$$I=?$$

难度评级：

二、解析

虽然在 $x\to 0$ 的时候，本题中的式子 $\frac{{\mathrm{e}}^{\arctan x}-{\mathrm{e}}^{\arcsin x}}{x^3}$ 呈现出 $\frac{1–1}{0}=\frac{0}{0}$ 的形式，但是，本题并不能像这道题目一样对分子进行有理化操作，而是应该提取次幂：

$$\begin{array}{r}I\\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{{\mathrm{e}}^{\arctan x}-{\mathrm{e}}^{\arcsin x}}{x^3}\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}{\mathrm{e}}^{\arcsin x}\cdot \frac{{\mathrm{e}}^{\arctan x-\arcsin x}-1}{x^3}\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{\arctan x-\arcsin x}{x^3}\\ \end{array}$$

又根据等价无穷小公式可知，当 $x\to 0$ 的时候：

$$\begin{array}{rl}\arcsin x–\arctan x& \sim \frac{1}{2}{x}^3\\ \\ \arctan x–\arcsin x& \sim \frac{-1}{2}{x}^3\end{array}$$

于是：

$$\begin{array}{r}I\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{\arctan x-\arcsin x}{x^3}\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{-1}{2}{x}^3}{x^3}\\ \\ & =\frac{-1}{2}\end{array}$$

或者：

$$\begin{array}{r}I\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{\arctan x-\arcsin x}{x^3}\\ \\ & \Rightarrow \text{ 洛必达运算 }\Rightarrow \\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{3x^2}\\ \\ & =\frac{1}{3}[\underset{x\to 0}{lim}\frac{{(1+x^2)}^{-1}-1}{x^2}-\underset{x\to 0}{lim}\frac{{(1-x^2)}^{-\frac{1}{2}}-1}{x^2}]\\ \\ & =\frac{1}{3}[\underset{x\to 0}{lim}\frac{-x^2}{x^2}-\underset{x\to 0}{lim}\frac{(-\frac{1}{2})(-x^2)}{x^2}]\\ \\ & =\frac{1}{3}(-1–\frac{1}{2})\\ \\ & =\frac{-1}{2}\end{array}$$

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