分子是两式相减等于零的极限怎么算？先做分子有理化

一、题目

已知：

$$\begin{array}{rl}I& =\\ & \underset{x\to 0}{lim}\frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\arctan x}}{x-\sin x}\end{array}$$

则：

$$I=?$$

难度评级：

二、解析

分析可知，式子 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\arctan x}}{x-\sin x}$ 是一个 $\frac{1–1}{0–0}=\frac{0}{0}$ 型的极限，因此，首先尝试对分子进行有理化：

$$\begin{array}{rl}I& \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\arctan x}}{x-\sin x}\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{(\sqrt{1+\tan x}–\sqrt{1+\arctan x})(\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\arctan x})}{x-\sin x}\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{1+\tan x–1+\arctan x}{(x-\sin x)(\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\arctan x})}\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{\tan x+\arctan x}{(x-\sin x)(1+1)}\\ \\ & =\frac{1}{2}\underset{x\to 0}{lim}\frac{\tan x+\arctan x}{(x-\sin x)}\end{array}$$

又根据等价无穷小公式可知，当 $x\to 0$ 时, 有：

$$\begin{array}{rl}x-\sin x& \sim \frac{1}{6}{x}^3\\ \\ \tan x–x& \sim \frac{1}{3}{x}^3\\ \\ x–\arctan x& \sim \frac{1}{3}{x}^3\end{array}$$

于是：

$$\begin{array}{r}I\\ & =\frac{1}{2}\underset{x\to 0}{lim}\frac{\tan x+\arctan x}{(x-\sin x)}\\ \\ & =\frac{1}{2}\underset{x\to 0}{lim}\frac{\tan x-\arctan x}{\frac{x^3}{6}}\\ \\ & =3\underset{x\to 0}{lim}\frac{\tan x-\arctan x}{x^3}\\ \\ & =3\underset{x\to 0}{lim}\frac{\tan x–x+x–\arctan x}{x^3}\\ \\ & =3(\underset{x\to 0}{lim}\frac{\tan x-x}{x^3}+\underset{x\to 0}{lim}\frac{x-\arctan x}{x^3})\\ \\ & =3(\underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{1}{2}{x}^3}{x^3}+\underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{1}{3}{x}^3}{x^3})\\ \\ & =3(\frac{1}{3}+\frac{1}{3})\\ \\ & =2\end{array}$$

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