当抽象矩阵的逆运算和伴随矩阵运算出现常数该怎么处理？

一、题目

已知 $3$ 阶矩阵 $A$ 满足 $|A|=\frac{1}{2}$, 则行列式：

$$|(2A{)}^{-1}–(2A{)}^{\ast }|=?$$

难度评级：

二、解析

首先，我们审题要认真，题目要我们求解的是：

$$|(2A{)}^{-1}–(2A{)}^{\ast }|=?$$

而不是：

$$|(2A^{-1})–(2A^{\ast })|=?$$

对于包含常数的抽象矩阵的运算，我们还需要掌握如下运算法则（其中，$k$ 为常数，$A$ 为 $n$ 阶矩阵）：

$$n⩾2\Rightarrow (kA{)}^{\ast }=k^{n-1}{A}^{\ast }=k^{n-1}\cdot |A|\cdot A^{-1}$$

$$A\text{ 可逆 }\Rightarrow \{\begin{array}{l}|(kA)|=k^n|A|\\ \\ \left|A^{-1}\right|=\frac{1}{|A|}\\ \\ |(kA{)}^{-1}|=\frac{1}{k}\cdot \frac{1}{|A|}\\ \\ \left|k^{-1}\right|=\frac{1}{k}\end{array}$$

于是：

$$\begin{array}{r}|(2A{)}^{-1}-(2A{)}^{\ast }|\\ \\ & =|\frac{1}{2}{A}^{-1}-2^{3-1}{A}^{\ast }|\\ \\ & =|\frac{1}{2}{A}^{-1}-4|A|A^{-1}|\\ \\ & =\left|A^{-1}\left(\frac{1}{2}–4|A|\right)\right|\\ \\ & =\left|A^{-1}(\frac{1}{2}-\frac{4}{2})\right|\\ \\ & =\left|\frac{-3}{2}{A}^{-1}\right|\\ \\ & ={\left(\frac{-3}{2}\right)}^3\left|A^{-1}\right|\\ \\ & ={\left(\frac{-3}{2}\right)}^3\cdot \frac{1}{|A|}=\frac{-27}{4}\end{array}$$

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