无穷小与有理化、积分、中值定理相结合的一道题目

一、题目

当 $x\to 0$ 时，无穷小量：

$$\begin{array}{rl}& \alpha =\sqrt{1+x\cos x}–\sqrt{1+\sin x}\\ & \beta ={\int }_0^{e^{2x}–1}\frac{{\sin }^{2}t}{t}\mathrm{d}t\\ & \gamma =\cos (\tan x)–\cos x\end{array}$$

的阶数由高到低次序为 ($$)

难度评级：

二、解析

1. $\alpha$

$$\begin{array}{rl}\alpha & =\sqrt{1+x\cos x}–\sqrt{1+\sin x}\\ \\ & =\frac{(\sqrt{1+x\cos x}–\sqrt{1+\sin x})(\sqrt{1+x\cos x}+\sqrt{1+\sin x})}{\sqrt{1+x\cos x}+\sqrt{1+\sin x}}\\ \\ & =\frac{x\cos x–\sin x}{\sqrt{1+x\cos x}+\sqrt{1+\sin x}}\\ \\ & \sim \frac{1}{2}(x\cos x–\sin x)\end{array}$$

又因为：

$$\begin{array}{r}x\cos x–\sin x\\ \\ & =\frac{x\cos x–\sin x}{x^3}\Rightarrow \text{ 洛必达运算 }\\ \\ & =\frac{\cos x–x\sin x–\cos x}{3x^2}\\ \\ & =\frac{-x\sin x}{3x^2}=\frac{-1}{3}\end{array}$$

于是：

$$\begin{array}{r}\alpha \\ \\ & \sim \frac{1}{2}(x\cos x–\sin x)\\ \\ & \sim \frac{1}{2}(\frac{-1}{3}{x}^3)\\ \\ & \sim \frac{-1}{6}{x}^3\end{array}$$

错误的解法：

$$\bcancel{\begin{array}{r}\frac{1}{2}(x\cos x–\sin x)\\ & \sim \frac{1}{2}(x\cos x–x)\\ & \sim \frac{1}{2}x(\cos x–1)\\ & \sim \frac{1}{2}x\cdot (-\frac{1}{2}{x}^2)\\ & \sim \frac{-1}{4}{x}^3\end{array}}$$

2. $\beta$

$$\begin{array}{r}\beta \\ \\ & ={\int }_0^{e^{2x}–1}\frac{{\sin }^{2}t}{t}\mathrm{d}t\\ \\ & ={\int }_0^{2x}\frac{t^2}{t}\mathrm{d}t\\ \\ & ={\int }_0^{2x}t\mathrm{d}t\\ \\ & =\frac{1}{2}{t}^2{|}_0^{2x}=2x^2\end{array}$$

3. $\gamma$

若令 $f(t)=\cos t$, 则 $f^{\prime }(t)=–\sin t$. 于是，根据中值定理可得：

$$\frac{f(\tan x)–f(x)}{\tan x–x}=f^{\prime }(\xi )\Rightarrow$$

$$f(\tan x)–f(x)=f^{\prime }(\xi )(\tan x–x)\Rightarrow$$

$$\begin{array}{r}\cos (\tan x)–\cos x\\ \\ & =(-\sin \xi )(\tan x–x)\\ \\ & \sim \frac{-1}{3}{x}^4\end{array}$$

当 $x\to 0$ 时，无穷小量，的阶数由高到低得次序为：

$$\mathit{\gamma }\mathbf{,}\mathit{\alpha }\mathbf{,}\mathit{\beta }$$

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