关于正定矩阵及其衍生矩阵的两条重要结论

一、前言

假如 $n$ 阶矩阵 $A$ 和 $m$ 阶矩阵 $B$ 均为正定矩阵，则其衍生矩阵会有那些结论呢？

二、正文

结论一

若矩阵 $A$ 为正定矩阵，则以下矩阵也都是正定矩阵：

$$\{\begin{array}{l}{A}^{\mathrm{\top }}\\ A^{-1}\\ A^{\ast }\\ kA,(k>0)\\ A^l,(l\text{为正整数})\\ C^{\mathrm{\top }}AC,(C\text{为可逆矩阵})\end{array}$$

结论二

若 $A$ 和 $B$ 都是正定矩阵，则下列矩阵一定是正定矩阵：

$$\begin{array}{rl}& A+B\\ \\ & \left(\begin{array}{cc}A& \ast \\ \ast & B\end{array}\right)\end{array}$$

但是下列矩阵不一定还是正定矩阵：

$$\begin{array}{rl}& A-B\\ \\ & \left(\begin{array}{cc}\ast & A\\ B& \ast \end{array}\right)\end{array}$$

相关例题

1. 正定矩阵的伴随矩阵一定是正定矩阵吗？

---