绝对值函数怎么求导？

一、题目

设函数 $f(x)$ 可导, $|f(x)|$ 在 $x=0$ 处不可导, 则 $()$

难度评级：

二、解析

方法一：特例法

取 $f(x)=x$, 则 $|f(x)|=|x|$ 在 $x=0$ 处不可导，完全满足题目条件。

且：

$$\{\begin{array}{l}f(0)=0\\ f^{\prime }(0)=1\ne 0\end{array}$$

于是可知，本题应选：D.

方法二：分析法

要想对绝对值函数求导，首先需要利用根号和平方做恒等变形：

$$|f(x)|=\sqrt{f^2(x)}$$

于是：

$$\begin{array}{rl}(|f(x)|{)}^{\prime }=& (\sqrt{f^2(x)}{)}^{\prime }\\ =& \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{f^2(x)}}\cdot 2f(x)\cdot f^{\prime }(x)\\ =& \frac{f(x)f^{\prime }(x)}{\sqrt{f^2(x)}},f(0)\ne 0\end{array}$$

由于 $|f(x)|$ 在 $x=0$ 处不可导，也就是 $(|f(0)|{)}^{\prime }$ $=$ $\frac{f(0)f^{\prime }(0)}{\sqrt{f^2(0)}}$ 不存在。

但是，由于 $f(x)$ 可导，因此，当 $f(0)\ne 0$ 的时候，$\frac{f(0)f^{\prime }(0)}{\sqrt{f^2(0)}}$ $=$ $\frac{f(0)f^{\prime }(0)}{f(0)}$ $=$ $f^{\prime }(0)$ 是存在的。

于是，为了使 $|f(x)|$ 在 $x=0$ 处不可导，只能有：

$$f(0)=0$$

接下来，我们开始分析 $f^{\prime }(0)$ 的取值特征。

为了表述方便，首先，令 $g(x)=|f(x)|$, 则：

$$\begin{array}{rl}{g}^{\prime }(0^{+})=(|f(x)|{)}^{\prime }=& \underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{g(x)–g(0)}{x–0}\\ =& \underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{|f(x)|–|f(0)|}{|x|}\\ =& \underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{|f(x)|–0}{|x|}\\ =& \underset{x\to 0^{+}}{lim}\left|\frac{f(x)}{x}\right|\\ =& \underset{x\to 0^{+}}{lim}\left|\frac{f(x)–f(0)}{x–0}\right|=|f^{\prime }(0^{+})|\end{array}$$

同理：

$$\begin{array}{rl}{g}^{\prime }(0^{-})=(|f(x)|{)}^{\prime }=& \underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{g(x)–g(0)}{x–0}\\ =& \underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{|f(x)|–|f(0)|}{-|x|}\\ =& \underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{|f(x)|–0}{-|x|}\\ =& –\underset{x\to 0^{-}}{lim}\left|\frac{f(x)}{x}\right|\\ =& –\underset{x\to 0^{-}}{lim}\left|\frac{f(x)–f(0)}{x–0}\right|=–|f^{\prime }(0^{-})|\end{array}$$

为了保证 $|f(x)|$ 在 $x=0$ 处不可导，必须有：

$$g^{\prime }(0^{+})\ne g^{\prime }(0^{-})$$

即：

$$|f^{\prime }(0^{+})|\ne –|f^{\prime }(0^{-})|\Rightarrow$$

$$|f^{\prime }(0)|\ne –|f^{\prime }(0)|$$

由于 $f(x)$ 可导，因此：$f^{\prime }(0^{+})$ $=$ $f^{\prime }(0^{-})$

因此：

$$f^{\prime }(0)\ne 0$$

综上可知，本题应选：D.

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