在无穷小的环境中，只有次幂最低的起作用

一、题目

已知 $lim_{x \to 0} \frac{(x + 1) (2 x + 1) (3 x + 1) (4 x + 1) (5 x + 1) + a x + b}{x + x^{2}}$ $=$ $16$ , 则 $a = ?$ , $b = ?$

难度评级：

首先，由于原式极限存在，且分母极限为 $0$ , 因此，整个式子必须是 $\frac{0}{0}$ 型的，即，该式子分子的极限也等于 $0$ :

$lim_{x \to 0} \frac{(x + 1) (2 x + 1) (3 x + 1) (4 x + 1) (5 x + 1) + a x + b}{x + x^{2}} = 16 \Rightarrow$

$lim_{x \to 0} \frac{(x + 1) (2 x + 1) (3 x + 1) (4 x + 1) (5 x + 1) + a x + b}{x} = 16 \Rightarrow$

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 0 + b}{0} = 16 \Rightarrow b + 1 = 0 \Rightarrow$

$b = - 1$

在 $b = - 1$ 的情况下，可以将分子中产生的常数抵消为 $0$ , 又由于在 $x \to 0$ 的时候，只有次幂最低的项才会真正发挥作用，且在原式中， $x$ 的次幂最低为 $1$ .

因此，我们只需要考虑分子中能产生的次幂为 $1$ 的 $x$ 即可：

$lim_{x \to 0} \frac{x + 2 x + 3 x + 4 x + 5 x + a x}{x} = 16 \Rightarrow$

$lim_{x \to 0} \frac{(15 + a) x}{x} = 16 \Rightarrow$

$a = 1$

综上可知：

${\begin{cases} a = 1 \\ b = - 1 \end{cases}$

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