这个题目隐含的约束条件你能找到吗？

一、题目

已知，曲线 $y=f(x)$ 满足 ${\int }_0^{x}tf(t)\mathrm{d}t=x^2+f(x)$, 求 $f(x)$ 的表达式。

难度评级：

二、解析

$${\int }_0^{x}tf(t)\mathrm{d}t=x^2+f(x)\Rightarrow$$

两边同时求导：

$$xf(x)=2x+f^{\prime }(x)\Rightarrow$$

又 $y=f(x)$, 于是：

$$xy=2x+y^{\prime }\Rightarrow$$

$$y^{\prime }–xy=-2x\Rightarrow$$

注意：本题中的微分方程 $y^{\prime }+(-x)y=-2x$ 涉及很多“负号”，极易导致计算出错，需要格外注意。

应用一阶线性微分方程求解公式：

$$y^{\ast }=(\int -2x\cdot e^{\int -x\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+C)\cdot e^{-\int -x\mathrm{d}x}\Rightarrow$$

$$y^{\ast }=(\int -2x\cdot e^{\frac{-x^2}{2}}\mathrm{d}x+C)\cdot e^{\frac{x^2}{2}}\Rightarrow$$

$$y^{\ast }=2(\int e^{\frac{-x^2}{2}}\mathrm{d}(\frac{-x^2}{2})+C)\cdot e^{\frac{x^2}{2}}\Rightarrow$$

$$y^{\ast }=2(e^{\frac{-x^2}{2}}+C)\cdot e^{\frac{x^2}{2}}\Rightarrow$$

$$y^{\ast }=2(1+C\cdot e^{\frac{x^2}{2}})\Rightarrow$$

又因为，当 $x=0$ 时：

$${\int }_0^{x}tf(t)\mathrm{d}t=x^2+f(x)\Rightarrow$$

$${\int }_0^{0}tf(t)\mathrm{d}t=0+f(0)\Rightarrow$$

$$0=0+f(0)\Rightarrow$$

$$f(0)=y(0)=0$$

于是，将 $x=0$ 时，$y(0)=0$ 代入 $y^{\ast }=2(1+C\cdot e^{\frac{x^2}{2}})$, 得：

$$0=2(1+C)\Rightarrow C=-1$$

于是可知，满足题目条件得解为：

$$f(x)=y^{\ast }=2(1–e^{\frac{x^2}{2}})\Rightarrow$$

$$f(x)=-2e^{\frac{x^2}{2}}+2$$

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