这个题目隐含的约束条件你能找到吗？

一、题目

已知，曲线 $y = f(x)$ 满足 $\int_{0}^{x} t f(t) \mathrm{~d} t = x^{2} + f(x)$, 求 $f(x)$ 的表达式。

难度评级：

二、解析

$$
\int_{0}^{x} t f(t) \mathrm{~d} t = x^{2} + f(x) \Rightarrow
$$

两边同时求导：

$$
xf(x) = 2x + f^{\prime}(x) \Rightarrow
$$

又 $y = f(x)$, 于是：

$$
xy = 2x + y^{\prime} \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{orangered}{
y^{\prime} – xy = -2x } \Rightarrow
$$

注意：本题中的微分方程 $y^{\prime} + (\textcolor{yellow}{- x})y = \textcolor{yellow}{-2} x$ 涉及很多“负号”，极易导致计算出错，需要格外注意。

应用一阶线性微分方程求解公式：

$$
y^{*} = \Big( \int -2x \cdot e^{\int -x \mathrm{~d} x} \mathrm{~d} x + C \Big) \cdot e^{-\int -x \mathrm{~d} x} \Rightarrow
$$

$$
y^{*} = \Big( \int -2x \cdot e^{\frac{-x^{2}}{2}} \mathrm{~d} x + C \Big) \cdot e^{\frac{x^{2}}{2}} \Rightarrow
$$

$$
y^{*} = 2 \Big( \int e^{\frac{-x^{2}}{2}} \mathrm{~d} (\frac{-x^{2}}{2}) + C \Big) \cdot e^{\frac{x^{2}}{2}} \Rightarrow
$$

$$
y^{*} = 2 \Big( e^{\frac{-x^{2}}{2}} + C \Big) \cdot e^{\frac{x^{2}}{2}} \Rightarrow
$$

$$
y^{*} = 2 \Big( 1 + C \cdot e^{\frac{x^{2}}{2}} \Big) \Rightarrow
$$

又因为，当 $x = 0$ 时：

$$
\int_{0}^{x} t f(t) \mathrm{~d} t = x^{2} + f(x) \Rightarrow
$$

$$
\int_{0}^{0} t f(t) \mathrm{~d} t = 0 + f(0) \Rightarrow
$$

$$
0 = 0 + f(0) \Rightarrow
$$

$$
f(0) = y(0) = 0
$$

于是，将 $x = 0$ 时，$y(0) = 0$ 代入 $y^{*} = 2 \Big( 1 + C \cdot e^{\frac{x^{2}}{2}} \Big)$, 得：

$$
0 = 2(1+C) \Rightarrow C = -1
$$

于是可知，满足题目条件得解为：

$$
f(x) = y^{*} = 2 \Big( 1 – e^{\frac{x^{2}}{2}} \Big) \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{springgreen}{
f(x) = -2 e^{\frac{x^{2}}{2}} + 2
}
$$

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