2023年考研数二第03题解析：数列比较大小

一、题目

设数列 $\left\{x_n\right\}，\left\{y_n\right\}$ 满足 $x_1=y_1=\frac{1}{2},x_{n+1}=\sin x_n,y_{n+1}=y_n^2$, 当 $n\to \mathrm{\infty }$ 时 ( )

(A) $x_n$ 是 $y_n$ 的高阶无穷小

(B) $y_n$ 是 $x_n$ 的高阶无穷小

(C) $x_n$ 是 $y_n$ 的等价无穷小

(D) $x_n$ 是 $y_n$ 的同阶但非等价无穷小

难度评级：

二、解析

简洁做法

由题可知，当 $n\to \mathrm{\infty }$ 时，数列 $x_n$ 和 $y_n$ 都会滑向 $0$, 即：

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=0$$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{y}_n=0$$

又：

$$\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{\sin x_n}{x_n}=\frac{x_n}{x_n}=1$$

$$\frac{y_{n+1}}{y_n}=\frac{y_n^2}{y_n}=y_n=0$$

由于在无穷小量趋于无穷小的过程中，如果后项比前项所得的值越小，说明趋于零的速度越快。因此，由上面的计算可知，数列 $y_n$ 趋于零的速度高于 $x_n$ 一个数量级（$0/1=0$），于是，$y_n$ 是 $x_n$ 的高阶无穷小，(B) 选项正确。

传统做法

首先，过点 $(0,0)$ 和 $(\frac{\pi }{2},1)$ 的直线为：

$$y=\frac{2}{\pi }x$$

又由函数图像可知，在 $(0,\frac{\pi }{2})$ 区间内：

$$\frac{2}{\pi }x<\sin x$$

于是：

$$\sin x_n>\frac{2}{\pi }{x}_n\Rightarrow$$

$$x_{n+1}>\frac{2}{\pi }{x}_n$$

又：

$$y_1=\frac{1}{2}$$

$$y_2=\frac{1}{4}$$

$$y^3=\frac{1}{16}$$

因此：

$$y_{n+1}<\frac{1}{2}{y}_n$$

于是：

$$\frac{y_{n+1}}{x_{n+1}}<\frac{\frac{1}{2}{y}_n}{\frac{2}{\pi }{x}_n}\Rightarrow$$

$$\frac{y_{n+1}}{x_{n+1}}<\frac{\pi }{4}\frac{y_n}{x_n}=(\frac{\pi }{4}{)}^2\frac{y_{n-1}}{x_{n-1}}=\cdots =(\frac{\pi }{4}{)}^n\frac{y_1}{x_1}=(\frac{\pi }{4}{)}^n=0$$

即：

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{y_{n+1}}{x_{n+1}}=\frac{y_n}{x_n}=0$$

综上可知，$y_n$ 是 $x_n$ 的高阶无穷小，(B) 选项正确。

---