2023年考研数二第03题解析：数列比较大小

一、题目

设数列 $\left\{x_{n}\right\} ，\left\{y_{n}\right\}$ 满足 $x_{1}=y_{1}=\frac{1}{2}, x_{n+1}=\sin x_{n}, y_{n+1}=y_{n}^{2}$, 当 $n \rightarrow \infty$ 时 ( )

(A) $x_{n}$ 是 $y_{n}$ 的高阶无穷小

(B) $y_{n}$ 是 $x_{n}$ 的高阶无穷小

(C) $x_{n}$ 是 $y_{n}$ 的等价无穷小

(D) $x_{n}$ 是 $y_{n}$ 的同阶但非等价无穷小

难度评级：

二、解析

简洁做法

由题可知，当 $n \rightarrow \infty$ 时，数列 $x_{n}$ 和 $y_{n}$ 都会滑向 $0$, 即：

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} x_{n} = 0
$$

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} y_{n} = 0
$$

又：

$$
\frac{x_{n+1}}{x_{n}} = \frac{\sin x_{n}}{x_{n}} = \frac{x_{n}}{x_{n}} = \textcolor{orangered}{1}
$$

$$
\frac{y_{n+1}}{y_{n}} = \frac{y_{n}^{2}}{y_{n}} = y_{n} = \textcolor{orangered}{0}
$$

由于在无穷小量趋于无穷小的过程中，如果后项比前项所得的值越小，说明趋于零的速度越快。因此，由上面的计算可知，数列 $y_{n}$ 趋于零的速度高于 $x_{n}$ 一个数量级（$0/1 = 0$），于是，$y_{n}$ 是 $x_{n}$ 的高阶无穷小，(B) 选项正确。

传统做法

首先，过点 $(0, 0)$ 和 $(\frac{\pi}{2}, 1)$ 的直线为：

$$
y = \frac{2}{\pi} x
$$

又由函数图像可知，在 $(0, \frac{\pi}{2})$ 区间内：

$$
\frac{2}{\pi} x < \sin x
$$

于是：

$$
\sin x_{n} > \frac{2}{\pi} x_{n} \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{springgreen}{
x_{n+1} > \frac{2}{\pi} x_{n}
}
$$

又：

$$
y_{1} = \frac{1}{2}
$$

$$
y_{2} = \frac{1}{4}
$$

$$
y^{3} = \frac{1}{16}
$$

因此：

$$
\textcolor{springgreen}{
y_{n + 1} < \frac{1}{2} y_{n}
}
$$

于是：

$$
\frac{y_{n+1}}{x_{n+1}} < \frac{\frac{1}{2} y_{n}}{\frac{2}{\pi} x_{n}} \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{springgreen}{
\frac{y_{n+1}}{x_{n+1}} < \frac{\pi}{4} \frac{y_{n}}{x_{n}} = \Big(\frac{\pi}{4} \Big)^{2} \frac{y_{n-1}}{x_{n-1}} = \cdots = \Big(\frac{\pi}{4} \Big)^{n} \frac{y_{1}}{x_{1}} = \Big(\frac{\pi}{4} \Big)^{n} = 0
}
$$

即：

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{y_{n+1}}{x_{n+1}} = \frac{y_{n}}{x_{n}} = 0
$$

综上可知，$y_{n}$ 是 $x_{n}$ 的高阶无穷小，(B) 选项正确。

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