震荡无极限的三角函数 sin 和 cos 具有“自限性”

一、题目

(A) 不连续

(B) 连续但不可导

(C) 可导但导函数不连续

(D) 可导且导函数连续

难度评级：

二、解析

首先：

$${({\int }_0^{x^2}\sin t\mathrm{d}t)}_x^{\prime }=2x\sin x^2\sim k{x}^3\Rightarrow$$

$${\int }_0^{x^2}\sin t\mathrm{d}t\sim k{x}^4$$

所以：

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{x^3}{x}\sin \frac{1}{x}=0$$

$$\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{1}{x}{\int }_0^{x^3}\sin t\mathrm{d}t\approx \underset{x\to 0^{-}}{lim}{x}^3=0$$

于是可知，$f(x)$ 在 $x=0$ 处 连 续 。

又：

$$f^{\prime }\left(0^{+}\right)=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{f(x)-0}{x}=0$$

$$f^{\prime }\left(0^{-}\right)=\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{f(x)-0}{x}=0$$

于是可知，$f(x)$ 在 $x=0$ 处 可 导 。

但是，由于：

$${(\frac{1}{x}{\int }_0^{x^2}\sin t\mathrm{d}t)}_x^{\prime }=\frac{-1}{x^2}{\int }_0^{x^2}\sin t\mathrm{d}t+\frac{1}{x}\cdot 2x\sin x^2\ne 0$$

于是可知，$f(x)$ 的 导 数 在 $x=0$ 处 不 连 续 。

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