一阶线性微分方程和极值结合的题目

一、题目

已知，函数 $f(x)$ 满足 $x{f}^{\prime }(x)-2f(x)=-4x$, 且由曲线 $y=f(x)$ 与直线 $x=1$ 以及 $x$ 轴可围成的平面图形绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积最小，则 $f(x)=?$

难度评级：

二、解析

注意：

在对一阶线性微分方程 $y^{\prime }+p(x)y=q(x)$ 应用公式的时候，一定要注意 $e$ 的指数是上式「中间」的 $p(x)$, 而且括号外边的需要加负号：
$$y=[\int q(x)\cdot e^{p(x)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+C]\cdot e^{-\int p(x)\mathrm{d}x}$$

变形：

$$x{f}^{\prime }(x)-2f(x)=-4x\Rightarrow x{y}^{\prime }-2y=-4x\Rightarrow$$

$$y^{\prime }-\frac{2}{x}y=-4\Rightarrow$$

代入公式：

$$y=[\int -4e^{\int \frac{-2}{x}dx}dx+C]e^{\int \frac{2}{x}dx}\Rightarrow$$

$$y=[-4\int \frac{1}{x^2}dx+C]x^2\Rightarrow$$

$$y=(\frac{4}{x}+c)x^2\Rightarrow$$

$$y=C{x}^2+4x$$

于是：

$$V=\pi {\int }_0^1{(C{x}^2+4x)}^{2}dx\Rightarrow$$

$$V=\pi {\int }_0^1(c^2{x}^4+16x^2+8C{x}^3)dx\Rightarrow$$

$$V={\pi (\frac{1}{5}{C}^2{x}^5+\frac{16}{3}{x}^3+2C{x}^4)|}_0^1\Rightarrow$$

$$V=\pi (\frac{C^2}{5}+\frac{16}{3}+2C)\Rightarrow$$

$$V^{\prime }(C)=0\Rightarrow \frac{2}{5}C+2=0\Rightarrow C=-5$$

又：

$$V^{\prime \prime }(C)=\frac{2}{5}>0$$

因此，当 $C=-5$ 时，$V$ 取得最小值，此时：

$$y=-5x^2+4x$$

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