一阶线性微分方程和极值结合的题目

一、题目

已知，函数 $f(x)$ 满足 $x f^{\prime}(x)-2 f(x)=-4 x$, 且由曲线 $y=f(x)$ 与直线 $x=1$ 以及 $x$ 轴可围成的平面图形绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积最小，则 $f(x)=?$

难度评级：

二、解析

注意：

在对一阶线性微分方程 $y^{\prime} + \textcolor{orangered}{p(x)} y = \textcolor{springgreen}{q(x)}$ 应用公式的时候，一定要注意 $e$ 的指数是上式「中间」的 $\textcolor{orangered}{p(x)}$, 而且括号外边的需要加负号：
$$
y = \Big[ \int \textcolor{springgreen}{q(x)} \cdot e^{\textcolor{orangered}{p(x)} \mathrm{~d} x } \mathrm{~ d} x + C \Big] \cdot e^{\textcolor{orangered}{-\int p(x)} \mathrm{~ d} x}
$$

变形：

$$
x f^{\prime}(x)-2 f(x)=-4 x \Rightarrow x y^{\prime}-2 y=-4 x \Rightarrow
$$

$$
y^{\prime}-\frac{2}{x} y=-4 \Rightarrow
$$

代入公式：

$$
y=\left[\int-4 e^{\int \frac{-2}{x} d x} d x+C\right] e^{\int \frac{2}{x} d x} \Rightarrow
$$

$$
y=\left[-4 \int \frac{1}{x^{2}} d x+C\right] x^{2} \Rightarrow
$$

$$
y=\left(\frac{4}{x}+c\right) x^{2} \Rightarrow
$$

$$
y=Cx^{2}+4 x
$$

于是：

$$
V=\pi \int_{0}^{1}\left(Cx^{2}+4 x\right)^{2} d x \Rightarrow
$$

$$
V=\pi \int_{0}^{1}\left(c^{2} x^{4}+16 x^{2}+8 C x^{3}\right) d x \Rightarrow
$$

$$
V=\left.\pi\left(\frac{1}{5} C^{2} x^{5}+\frac{16}{3} x^{3}+2 C x^{4}\right)\right|_{0} ^{1} \Rightarrow
$$

$$
V=\pi\left(\frac{C^{2}}{5}+\frac{16}{3}+2 C\right) \Rightarrow
$$

$$
V^{\prime}(C)=0 \Rightarrow \frac{2}{5} C+2=0 \Rightarrow C=-5
$$

又：

$$
V^{\prime \prime}(C)=\frac{2}{5} > 0
$$

因此，当 $C = -5$ 时，$V$ 取得最小值，此时：

$$
y=-5 x^{2}+4 x
$$

---