对于含有反三角函数的积分可以用对应的三角函数代换求解

一、题目

$$I={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\arctan x}{{(1+x^2)}^{5/2}}\mathrm{d}x=?$$

难度评级：

二、解析

$$I={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\arctan x}{{(1+x^2)}^{5/2}}\mathrm{d}x\Rightarrow$$

令 $x=\tan t\Rightarrow$, 则：

$$x\in (0,+\mathrm{\infty })\Rightarrow t\in (0,\frac{\pi }{2})\Rightarrow$$

$$\mathrm{d}x=\mathrm{d}(\tan x)=\frac{1}{{\cos }^{2}t}\mathrm{d}t$$

于是：

$$I={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{t}{{(1+{\tan }^{2}t)}^{5/2}}\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}t}\mathrm{d}t$$

又：

$$1+{\tan }^{2}t=\frac{1}{{\cos }^{2}t}$$

于是：

$$I={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}t\cdot {\cos }^5\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}t}\mathrm{d}t=$$

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}t{\cos }^{3}t\mathrm{d}t=$$

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}t(1-{\sin }^{2}t)\mathrm{d}(\sin t)=$$

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}t\mathrm{d}(\sin t-\frac{1}{3}{\sin }^{3}t)=$$

$${t(\sin t-\frac{1}{3}{\sin }^{3}t)|}_0^{\frac{\pi }{2}}-{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(\sin t-\frac{1}{3}{\sin }^{3}t)\mathrm{d}t=$$

$$\frac{\pi }{2}(1-\frac{1}{3})-[-{\cos t|}_0^{\frac{\pi }{2}}-\frac{1}{3}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{3}t\mathrm{d}t]=$$

$$\frac{2}{3}\cdot \frac{\pi }{2}-(1-\frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3}\cdot 1)=\frac{\pi }{3}-\frac{7}{9}$$

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