拐点不一定是驻点

一、题目

已知 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内可导, $x_{0} \neq 0,\left(x_{0}, f\left(x_{0}\right)\right)$ 是 $y=f(x)$ 的拐点, 则：

(A) $x_{0}$ 必是 $f^{\prime}(x)$ 的驻点

(B) $\left(-x_{0},-f\left(x_{0}\right)\right)$ 必是 $y=-f(-x)$ 的拐点

(C) $\left(-x_{0},-f\left(-x_{0}\right)\right)$ 必是 $y=-f(x)$ 的拐点

(D) 对任意 $x>x_{0}$ 与 $x<x_{0}, y=f(x)$ 的凹凸性相反

难度评级：

二、解析

A 选项：

拐点不一定是驻点，例如，对于函数 $y = x^{3} + x$（图象如图 01 所示），由于 $f^{\prime \prime}(0) = 0$, 因此 $x = 0$ 是拐点，但由于 $f^{\prime}(0) = 1 \neq 0$, 因此，$x = 0$ 不是驻点。

因此可知，A 选项错误。

B 选项：

$f(x)$ 和 $f(-x)$ 关于 $Y$ 轴【镜像对称】。例如，$y=(x-1)^{3}$ 和 $y=(-x-1)^{3}$ 就关于 $Y$ 轴对称，拐点分别为 $x = 1$ 和 $x = -1$:

进而，$f(x)$ 和 $-f(-x)$ 关于 $Y$ 轴【平移对称】。例如，$y=(x-1)^{3}$ 和 $y=-(-x-1)^{3}$ 就关于 $Y$ 轴平移对称，拐点分别为 $x = 1$ 和 $x = -1$:

于是可知，$y = -f(-x)$ 的拐点就是 $(-x_{0}, -f(x_{0}))$

C 选项：

$f(x)$ 和 $-f(x)$ 关于 $X$ 轴对称，因此，关于 $Y$ 轴对称的点 $(x_{0}, f(x_{0}))$ 和 $(-x_{0}, f(-x_{0}))$ 中的 $(-x_{0}, f(-x_{0}))$ 就不一定是拐点。

函数 $y = (x – 1)^{3}$（蓝色曲线）和 $y = -(x-1)^{3}$（红色曲线）关于 $X$ 轴对称：

D 选项：

拐点是一个局部性质，一个函数可能有多个拐点，因此 D 选项错误。

综上可知，本题应选 B.

---