拐点不一定是驻点

一、题目

已知 $f(x)$ 在 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 内可导, $x_0\ne 0,(x_0,f\left(x_0\right))$ 是 $y=f(x)$ 的拐点, 则：

(A) $x_0$ 必是 $f^{\prime }(x)$ 的驻点

(B) $(-x_0,-f\left(x_0\right))$ 必是 $y=-f(-x)$ 的拐点

(C) $(-x_0,-f(-x_0))$ 必是 $y=-f(x)$ 的拐点

(D) 对任意 $x>x_0$ 与 $x<x_0,y=f(x)$ 的凹凸性相反

难度评级：

二、解析

A 选项：

拐点不一定是驻点，例如，对于函数 $y=x^3+x$（图象如图 01 所示），由于 $f^{\prime \prime }(0)=0$, 因此 $x=0$ 是拐点，但由于 $f^{\prime }(0)=1\ne 0$, 因此，$x=0$ 不是驻点。

因此可知，A 选项错误。

B 选项：

$f(x)$ 和 $f(-x)$ 关于 $Y$ 轴【镜像对称】。例如，$y=(x-1{)}^3$ 和 $y=(-x-1{)}^3$ 就关于 $Y$ 轴对称，拐点分别为 $x=1$ 和 $x=-1$:

进而，$f(x)$ 和 $-f(-x)$ 关于 $Y$ 轴【平移对称】。例如，$y=(x-1{)}^3$ 和 $y=-(-x-1{)}^3$ 就关于 $Y$ 轴平移对称，拐点分别为 $x=1$ 和 $x=-1$:

于是可知，$y=-f(-x)$ 的拐点就是 $(-x_0,-f(x_0))$

C 选项：

$f(x)$ 和 $-f(x)$ 关于 $X$ 轴对称，因此，关于 $Y$ 轴对称的点 $(x_0,f(x_0))$ 和 $(-x_0,f(-x_0))$ 中的 $(-x_0,f(-x_0))$ 就不一定是拐点。

函数 $y=(x–1{)}^3$（蓝色曲线）和 $y=-(x-1{)}^3$（红色曲线）关于 $X$ 轴对称：

D 选项：

拐点是一个局部性质，一个函数可能有多个拐点，因此 D 选项错误。

综上可知，本题应选 B.

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