在无穷大方向上，函数可能存在水平渐近线和倾斜渐近线

一、题目

已知 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 连续, 且 $f(x)=a+g(x)$, 其中 $a \neq 0$ 为常数, $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} g(x)=0$,又 $\int_{0}^{+\infty} g(t) \mathrm{d} t=b$, 则 $x \rightarrow+\infty$ 时，$y=F(x) = \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 有渐近线（）

难度评级：

二、解析

由题可知：

$$
f(x)=a+g(x)
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} g(x)=0
$$

$$
\int_{0}^{+\infty} g(t) \mathrm{d} t=b
$$

先寻找是否有水平渐近线：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=\lim \limits_{x \rightarrow+\infty}\left[\int_{0}^{x} a \mathrm{d} t+\int_{0}^{x} g(t) \mathrm{d} t\right] =
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \int_{0}^{x} a \mathrm{d} t+b=+\infty
$$

于是可知，没有水平渐近线。

接着，寻找是否存在倾斜渐近线：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t}{x}=\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_{0}^{x} a \mathrm{d} t+\int_{0}^{x} g(t) \mathrm{d} t}{x}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x} a \mathrm{d} t+b}{x}=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{a}{1}=a=k
$$

又：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty}[F(x)-a x]=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty}\left[\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t-a x\right]=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \int_{0}^{x}[f(t)-a] \mathrm{d} t=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \int_{0}^{x} g(t) \mathrm{d} t=
$$

$$
\int_{0}^{+\infty} g(t) \mathrm{d} t=b
$$

综上可知，存在倾斜渐近线：

$$
y=a x+b
$$

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