在无穷大方向上，函数可能存在水平渐近线和倾斜渐近线

一、题目

已知 $f(x)$ 在 $[0,+\mathrm{\infty })$ 连续, 且 $f(x)=a+g(x)$, 其中 $a\ne 0$ 为常数, $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}g(x)=0$,又 ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}g(t)\mathrm{d}t=b$, 则 $x\to +\mathrm{\infty }$ 时，$y=F(x)={\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$ 有渐近线（）

难度评级：

二、解析

由题可知：

$$f(x)=a+g(x)$$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}g(x)=0$$

$${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}g(t)\mathrm{d}t=b$$

先寻找是否有水平渐近线：

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}[{\int }_0^{x}a\mathrm{d}t+{\int }_0^{x}g(t)\mathrm{d}t]=$$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^{x}a\mathrm{d}t+b=+\mathrm{\infty }$$

于是可知，没有水平渐近线。

接着，寻找是否存在倾斜渐近线：

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t}{x}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{{\int }_0^{x}a\mathrm{d}t+{\int }_0^{x}g(t)\mathrm{d}t}{x}=$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{{\int }_0^{x}a\mathrm{d}t+b}{x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{a}{1}=a=k$$

又：

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}[F(x)-ax]=$$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}[{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t-ax]=$$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^x[f(t)-a]\mathrm{d}t=$$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^{x}g(t)\mathrm{d}t=$$

$${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}g(t)\mathrm{d}t=b$$

综上可知，存在倾斜渐近线：

$$y=ax+b$$

---