不要被这道题题目中所用的变量名迷惑了哦

一、题目

已知 $A, B$ 都是不等于零的常数, 则微分方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+5 y=\mathrm{e}^{x} \cos 2 x$ 有特解：

(A) $y^{*}=x \mathrm{e}^{x}(A \cos 2 x+B \sin 2 x)$
(B) $y^{*}=\mathrm{e}^{x}(A \cos 2 x+B \sin 2 x)$
(C) $y^{*}=A x \mathrm{e}^{x} \cos 2 x$
(D) $y^{*}=A x \mathrm{e}^{x} \sin 2 x$

难度评级：

二、解析

求特征根：

$$
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+5 y=e^{x} \cos 2 x \Rightarrow
$$

$$
\lambda^{2}-2 \lambda+5=0 \Rightarrow
$$

$$
\lambda = \frac{2 \pm \sqrt{4-20}}{2} \Rightarrow \lambda=1 \pm 2 i
$$

于是，特解可设为：

$$
Y^{*}=x^{k} e^{2 x}\left[W_{n}(x) \cos \beta x+Q_{n}(x) \sin \beta x\right] \Rightarrow
$$

又：

$$
\alpha \pm i \beta=\lambda=1 \pm 2 i \Rightarrow k=1
$$

因此：

$$
Y^{*} = x e^{x} [\textcolor{springgreen}{a} \cos 2x + \textcolor{springgreen}{b} \sin 2x]
$$

注意：由于题目中用了 $A$ 和 $B$, 而且不是一定要用 $A$ 表示 $W_{n}(x) ， B$ 表示 $Q_{n}(x)$，为了作区别，不要令特解为：$y^{*}=x e^{x}(\textcolor{orangered}{A} \cos 2 x + \textcolor{orangered}{B} \sin 2 x)$

之后，为了简化运算，令：

$$
y_{1}=e^{x} \cos 2 x, \quad y_{2}=e^{x} \sin 2 x
$$

于是（为了简化运算，要把常数和带变量的系数分开）：

$$
Y^{*}=x\left(a y_{1}+b y_{2}\right)
$$

$$
Y^{* \prime}=\left(a y_{1}+b y_{2}\right)+x\left(a y_{1}^{\prime}+b y_{2}^{\prime}\right)
$$

$$
Y^{* \prime \prime}=2\left(a y_{1}^{\prime}+b y_{2}^{\prime}\right)+x\left(a y_{1}^{\prime \prime}+b y_{2}^{\prime \prime}\right)
$$

于是：

$$
Y^{* \prime \prime}-2 Y^{* \prime}+5 Y^{*}=
$$

$$
2\left(a y_{1}^{\prime}+b y_{2}^{\prime}\right)+x\left(a y_{1}^{\prime \prime}+b y_{2}^{\prime \prime}\right)-
$$

$$
2\left(a y_{1}+b y_{2}\right)-2 x\left(a y_{1}^{\prime}+b y_{2}^{\prime}\right)+
$$

$$
5 x\left(a y_{1}+b y_{2}\right)=
$$

把常数和系数分开，简化运算：

$$
x\left[a\left(y_{1}^{\prime \prime}-2 y_{1}^{\prime}+5 y_{1}\right)+b\left(y_{2}^{\prime \prime}-2 y_{2}^{\prime}+5 y_{2}\right)\right] +
$$

$$
2 a\left(y_{1}^{\prime}-y_{1}\right)+2 b\left(y_{2}^{\prime}-y_{2}\right) \Rightarrow
$$

又：

$$
y_{1}^{\prime \prime}-2 y_{1}^{\prime}+5 y_{1}=0 \quad y_{2}^{\prime \prime}-2 y_{2}+5 y_{2}=0
$$

于是：

$$
\text { 原式 }=2 a\left(y_{1}^{\prime}-y_{1}\right)+2 b\left(y_{2}^{\prime}-y_{2}\right)=
$$

$$
2 a\left(e^{x} \cos 2 x-2 e^{x} \sin 2 x-e^{x} \cos 2 x\right)+
$$

$$
2 b\left(e^{x} \sin 2 x+2 e^{x} \cos 2 x-e^{x} \sin 2 x\right)=
$$

于是：

$$
-4 a e^{x} \sin 2 x+4 b e^{x} \cos 2 x = e^{x} \cos 2 x \Rightarrow
$$

$$
a=0, b=\frac{1}{4} \Rightarrow
$$

$$
Y^{*}=\frac{1}{4} x e^{x} \sin 2 x
$$

综上可知，D 选项正确。

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