不要被这道题题目中所用的变量名迷惑了哦

一、题目

已知 $A,B$ 都是不等于零的常数, 则微分方程 $y^{\prime \prime }-2y^{\prime }+5y={\mathrm{e}}^x\cos 2x$ 有特解：

(A) $y^{\ast }=x{\mathrm{e}}^x(A\cos 2x+B\sin 2x)$
(B) $y^{\ast }={\mathrm{e}}^x(A\cos 2x+B\sin 2x)$
(C) $y^{\ast }=Ax{\mathrm{e}}^x\cos 2x$
(D) $y^{\ast }=Ax{\mathrm{e}}^x\sin 2x$

难度评级：

二、解析

求特征根：

$$y^{\prime \prime }-2y^{\prime }+5y=e^x\cos 2x\Rightarrow$$

$${\lambda }^2-2\lambda +5=0\Rightarrow$$

$$\lambda =\frac{2\pm \sqrt{4-20}}{2}\Rightarrow \lambda =1\pm 2i$$

于是，特解可设为：

$$Y^{\ast }=x^k{e}^{2x}[W_n(x)\cos \beta x+Q_n(x)\sin \beta x]\Rightarrow$$

又：

$$\alpha \pm i\beta =\lambda =1\pm 2i\Rightarrow k=1$$

因此：

$$Y^{\ast }=x{e}^x[a\cos 2x+b\sin 2x]$$

注意：由于题目中用了 $A$ 和 $B$, 而且不是一定要用 $A$ 表示 $W_n(x)，B$ 表示 $Q_n(x)$，为了作区别，不要令特解为：$y^{\ast }=x{e}^x(A\cos 2x+B\sin 2x)$

之后，为了简化运算，令：

$$y_1=e^x\cos 2x,y_2=e^x\sin 2x$$

于是（为了简化运算，要把常数和带变量的系数分开）：

$$Y^{\ast }=x(a{y}_1+b{y}_2)$$

$$Y^{\ast \prime }=(a{y}_1+b{y}_2)+x(a{y}_1^{\prime }+b{y}_2^{\prime })$$

$$Y^{\ast \prime \prime }=2(a{y}_1^{\prime }+b{y}_2^{\prime })+x(a{y}_1^{\prime \prime }+b{y}_2^{\prime \prime })$$

于是：

$$Y^{\ast \prime \prime }-2Y^{\ast \prime }+5Y^{\ast }=$$

$$2(a{y}_1^{\prime }+b{y}_2^{\prime })+x(a{y}_1^{\prime \prime }+b{y}_2^{\prime \prime })-$$

$$2(a{y}_1+b{y}_2)-2x(a{y}_1^{\prime }+b{y}_2^{\prime })+$$

$$5x(a{y}_1+b{y}_2)=$$

把常数和系数分开，简化运算：

$$x[a(y_1^{\prime \prime }-2y_1^{\prime }+5y_1)+b(y_2^{\prime \prime }-2y_2^{\prime }+5y_2)]+$$

$$2a(y_1^{\prime }-y_1)+2b(y_2^{\prime }-y_2)\Rightarrow$$

又：

$$y_1^{\prime \prime }-2y_1^{\prime }+5y_1=0y_2^{\prime \prime }-2y_2+5y_2=0$$

于是：

$$\text{ 原式 }=2a(y_1^{\prime }-y_1)+2b(y_2^{\prime }-y_2)=$$

$$2a(e^x\cos 2x-2e^x\sin 2x-e^x\cos 2x)+$$

$$2b(e^x\sin 2x+2e^x\cos 2x-e^x\sin 2x)=$$

于是：

$$-4a{e}^x\sin 2x+4b{e}^x\cos 2x=e^x\cos 2x\Rightarrow$$

$$a=0,b=\frac{1}{4}\Rightarrow$$

$$Y^{\ast }=\frac{1}{4}x{e}^x\sin 2x$$

综上可知，D 选项正确。

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