平方和绝对值都具有“弥合”的效果

一、题目

下列说法中正确的是哪个或者哪些？

(1) 设 $f^{2}(x)$ 在 $x=x_{0}$ 连续, 则 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 连续.
(2) 设 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 连续,则 $|f(x)|$ 在 $x=x_{0}$ 连续.
(3) 设 $|f(x)|$ 在 $[a, b]$ 可积,则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可积.
(4) 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 有界, 只有有限个间断点, 则 $|f(x)|$ 在 $[a, b]$ 可积, 即在 $[a, b]$ 存在定积分.

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二、解析

由于平方运算和绝对值运算都会产生“弥合”的作用，因此可以初步判断 (1) 和 (3) 都是错的。

例如，当 $\textcolor{springgreen}{f(x) = \begin{cases}
-1, & x<0 \\ 1, & x > 0
\end{cases}}$ 时，$f^{2}(x)$ 连续而 $f(x)$ 本身并不连续，因此 (1) 错误。

又例如，当 $\textcolor{orangered}{f(x) = \begin{cases}
-1, & 有理数\
1, & 无理数
\end{cases}}$ 时，$|f(x)|$ 可积，而 $f(x)$ 因为存在无数个间断点，所以不可积，因此 (3) 错误。

同理可知，当只有有限个间断点时，函数是可积的，因此 (4) 正确。

对于 (2), 若 $\lim_{x \rightarrow x_{0}} f(x) = a$, 则必有 $\lim_{x \rightarrow x_{0}} |f(x)| = |a|$, 因此，若 $f(x)$ 在 $x = x_{0}$ 处连续，$|f(x)|$ 也一定在 $x = x_{0}$ 处连续。因此 (2) 正确。

综上，只有 (2) 和 (4) 正确。