曲率半径是曲率的倒数

一、题目

曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t), \\ y=a(1-\cos t),\end{array}\right.$ $(a > 0)$ 在参数 $t = \frac{\pi}{2}$ 对应点处的曲率 $k = ?$

难度评级：

二、解析

已知，曲率的计算公式为：

$$
k=\frac{\left|y^{\prime \prime}\right|}{\left(1+y^{\prime 2}\right)^{\frac{3}{2}}}
$$

又：

$$
y^{\prime}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} \cdot \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x} \Rightarrow
$$

$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}=a \sin t \quad \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}=a-a \cos t \Rightarrow
$$

$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{\sin t}{1-\cos t} \Rightarrow t=\frac{\pi}{2} \Rightarrow y^{\prime}=1
$$

又：

$$
y^{\prime \prime}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\right)=\frac{d}{\mathrm{d} t}\left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\right) \cdot \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x} \Rightarrow
$$

$$
y^{\prime \prime}=\frac{\cos t(1-\cos t)-\sin ^{2} t}{(1-\cos t)^{2}} \cdot \frac{1}{a(1-\cos t)} \Rightarrow
$$

$$
y^{\prime \prime}=\frac{\cos t-1}{(1-\cos t)^{2}} \cdot \frac{1}{a(1-\cos t)} \Rightarrow
$$

$$
y^{\prime \prime}=\frac{-1}{a(1-\cos t)^{2}} \Rightarrow t=\frac{\pi}{2} \Rightarrow \left|y^{\prime \prime}\right|=\frac{1}{a}
$$

因此：

$$
k=\frac{\frac{1}{a}}{2^{\frac{3}{2}}}=\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{\sqrt{2^{3}}}=\frac{1}{2 \sqrt{2} a}
$$

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