曲率半径是曲率的倒数

一、题目

曲线 $\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t),\\ y=a(1-\cos t),\end{array}$ $(a>0)$ 在参数 $t=\frac{\pi }{2}$ 对应点处的曲率 $k=?$

难度评级：

二、解析

已知，曲率的计算公式为：

$$k=\frac{\left|y^{\prime \prime }\right|}{{(1+y^{\prime 2})}^{\frac{3}{2}}}$$

又：

$$y^{\prime }=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\cdot \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}\Rightarrow$$

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=a\sin t\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=a-a\cos t\Rightarrow$$

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\sin t}{1-\cos t}\Rightarrow t=\frac{\pi }{2}\Rightarrow y^{\prime }=1$$

又：

$$y^{\prime \prime }=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)=\frac{d}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)\cdot \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}\Rightarrow$$

$$y^{\prime \prime }=\frac{\cos t(1-\cos t)-{\sin }^{2}t}{(1-\cos t{)}^2}\cdot \frac{1}{a(1-\cos t)}\Rightarrow$$

$$y^{\prime \prime }=\frac{\cos t-1}{(1-\cos t{)}^2}\cdot \frac{1}{a(1-\cos t)}\Rightarrow$$

$$y^{\prime \prime }=\frac{-1}{a(1-\cos t{)}^2}\Rightarrow t=\frac{\pi }{2}\Rightarrow \left|y^{\prime \prime }\right|=\frac{1}{a}$$

因此：

$$k=\frac{\frac{1}{a}}{2^{\frac{3}{2}}}=\frac{1}{a}\cdot \frac{1}{\sqrt{2^3}}=\frac{1}{2\sqrt{2}a}$$

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