在有界区间上，原函数有界导函数不一定有界，导函数有界原函数一定有界——在无界区间上，一阶导函数有界原函数也可能无界

题目 01

以下命题中正确的是哪个？

(A) 若 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 内连续, 则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界.
(B) 若 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内连续, 则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界.
(C) 若 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界, 则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界.
(D) 若 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界, 则 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界.

难度评级：

解析 01

A、B 选项

原函数 $y = \ln x$（红色曲线）和其导函数 $y = \frac{1}{x}$（蓝色曲线）的示意图如图 01 所示：

由上图可以看出，虽然 $y = \ln x$ 和 $y = \frac{1}{x}$ 在 区间 $(0, 5)$ 上都是连续的，但并不是有界的，因此，连续性和有界性没有任何关系——A、B 选项都是错的。

C、D 选项

如图 02 所示，$y = \sin \frac{1}{x}$ 在区间 $(-2, 2)$ 上是一个有界函数：

但是，$y = \sin \frac{1}{x}$ 的导函数 $y = \frac{-1}{x^{2}} \cos \frac{1}{x}$ 在区间 $(-2, 2)$ 上却是一个无界函数：

由此可知，原函数有界与导函数有界无关。

但是，导函数有界就意味着原函数的增长或者下降趋势的极限被限制到了一个确定的常数，这也就意味着原函数此时不能无限制的疯狂增长或者下降，进而也就使得原函数有界。

综上可知，C 选项正确。

由于在函数 $y = \frac{-1}{x^{2}} \cos \frac{1}{x}$ 中，当 $x \rightarrow 0$ 时，$\frac{-1}{x^{2}}$ 是一个无穷大，而 $\cos \frac{1}{x}$ 是一个有界震荡函数，因此，$y = \frac{-1}{x^{2}} \cos \frac{1}{x}$ 在 $x = 0$ 的邻域内一定是无界的。

另一个用于排除 D 选项的反例是：

函数 $f(x) = \sqrt{x – a}$ 在 $(a, b)$ 上是有界的，但是其导函数 $f^{\prime}(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x – a}}$ 在 $(a, b)$ 上是无界的。

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题目 02

已知 $f(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 可导, 则 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 有界是 $f(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 有界的充要条件吗？

难度评级：

解析 02

由题目 01 可知，在有界区间 $(a, b)$ 上，一个函数如果想无界，必须借助无界的的一阶导函数产生的“迅猛”的增长或者下降趋势——反之就是说，在有界区间上，如果一阶导函数有界，则原函数必然有界。但是，由反例可知，原函数有界，一阶导函数不一定有界。

但是，在题目 02 中，我们要研究的是无界区间上的性质——由于区间是无界的，因此，原函数如果想成为无界函数，不一定需要依赖于一阶导函数所提供的“迅猛”的增长或者下降趋势——即便一阶导函数只提供了有限的增长或者下降趋势，在无穷大的区间上，这个“趋势”也会被无限放大，从而使得原函数在一阶导函数有界的情况下成为无界函数。当然，在无界区间上，原函数有界，一阶导函数也不一定有界。

例如，当 $f(x) = x$ 时，$f^{\prime}(x) = 1$ 在 $(0, + \infty)$ 这个无界区间上是有界的，但 $f(x) = x$ 在 $(0, + \infty)$ 却是无界函数。

综上，$f^{\prime}(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 有界是 $f(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 有界的既非充分也非必要条件。

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