低阶无穷小乘以高阶无穷大等于无穷大，高阶无穷小乘以低阶无穷大等于 0，同阶无穷小和无穷大相乘等于 1

一、题目

已知 $f(x)=\{\begin{array}{cl}{\mathrm{e}}^{\frac{1}{x^2-1}},& |x|<1\\ x^4-b{x}^2+c,& |x|⩾1\end{array}$ 可导，则 $(b,c)=?$

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二、解析

当 $|x|\ne 1$ 时显然可导，因此，只需要判断 $x=1$ 和 $x=-1$ 时的可导性即可。

又因为，函数中只存在 $x^2$ 和 $x^4$, 因此 $f(x)$ 一定是定义在 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 上的偶函数，于是，我们只考虑 $x=1$ 处的连续性和可导性即可。

由于可导则原函数必连续，因此：

$$\underset{x\to 1^{-}}{lim}{e}^{\frac{1}{x^2-1}}=e^{-\mathrm{\infty }}=0\Rightarrow$$

$$\underset{x\to 1^{-}}{lim}(x^2-b{x}^2+c)=$$

$$\begin{array}{}\text{(1)}& 1-b+c=0\end{array}$$

根据《间断点只是一点处的情况，并不能决定一个函数是否是偶函数》这篇文章可知，当 $x\to 1^{+}$ 时会产生无穷大，无法用于具体数值计算，因此本题不予考虑。

导函数也必须连续，因此：

$${\left(e^{\frac{1}{x^2-1}}\right)}_x^{\prime }=\frac{-2x}{{(x^2-1)}^2}{e}^{\frac{1}{x^2-1}}\Rightarrow$$

$$t=\frac{1}{x^2-1}\Rightarrow \frac{-2}{{(x^2-1)}^2}{e}^{\frac{1}{x^2-1}}=-2\underset{t\to -\mathrm{\infty }}{lim}{t}^2{e}^t=0$$

得出 $\underset{t\to -\mathrm{\infty }}{lim}{t}^2{e}^t=0$ 的依据在于，在第一象限，$y=e^x$ 的图象在 $y=x^2$ 图象的上方（如图 01 所示），这表明 $y=e^x$ 的增长速度大于 $y=x^2$, 反之，$y=e^x$ 的减少速度也快于 $y=x^2$——

当 $t\to –\mathrm{\infty }$ 时，$e^t$ 能更快的抵消 $t^2$ 带来的增长，因此 $\underset{t\to -\mathrm{\infty }}{lim}{t}^2{e}^t=0$.

事实上，关于 $0\cdot \mathrm{\infty }$ 等于多少这个问题，我们可以大致分为以下三个方面进行讨论（约定 $x\to 0$）：

1. 低阶无穷小乘以高阶无穷大等于无穷大：$x\cdot \frac{1}{x^2}=\frac{1}{x}=\mathrm{\infty }$
2. 高阶无穷小乘以低阶无穷大等于 0：$x^2\cdot \frac{1}{x}=x=0$
3. 同阶无穷小和无穷大相乘等于 1：$x\cdot \frac{1}{x}=1$

又，当 $x\to 1^{-}$ 时：

$$(x^2–b{x}^2+c{)}_x^{\prime }=4–2b=0\Rightarrow$$

$$\{\begin{array}{ll}& b=2\\ & c=1\end{array}$$

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