每次都乘以一个稍微大于 1 的数一定会得到无穷大吗？

一、题目

已知 $u_n$ $=$ $(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2^2})\cdots (1+\frac{1}{2^n})$, 则下列命题正确的是哪个？

(A) $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{u}_n$ 不存在, 且 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{u}_n\ne +\mathrm{\infty }$.
(B) $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=A>0$.
(C) $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=+\mathrm{\infty }$.
(D) $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=0$.

难度评级：

二、解析

由 $u_n$ $=$ $(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2^2})\cdots (1+\frac{1}{2^n})$ 可知：

$$(1+\frac{1}{2})>1$$

$$(1+\frac{1}{2^2})>1$$

$$⋮$$

$$(1+\frac{1}{2^n})>1$$

由于每次乘进来的都是大于 $1$ 的式子，因此，数列 $\{u_n\}$ 一定是单调递增的。

但是，由于：

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{2^n})=1$$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{2^{n+1}})=1$$

因此，数列 $\{u_n\}$ 在 $x\to +\mathrm{\infty }$ 时乘以的其实相当于 $1$, 此时已经不能给数列 $\{u_n\}$ 带来增长了，因此，数列 $\{u_n\}$ 一定存在极限。

综上可知，只有 B 选项正确。

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