辨析由极限的不等式所能推出的结论

一、题目

下列命题中正确的是哪个？

(A) 若 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)⩾\underset{x\to x_0}{lim}g(x)\Rightarrow$ 存在 $\delta >0$, 当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时, $f(x)⩾g(x)$

(B) 若存在 $\delta >0$ 使得当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时有 $f(x)>g(x)$ 且 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A_0$, $\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=B_0$ 均存在, 则 $A_0>B_0$

(C) 若存在 $\delta >0$, 当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时 $f(x)>g(x)\Rightarrow \underset{x\to x_0}{lim}f(x)⩾\underset{x\to x_0}{lim}g(x)$

(D) 若 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)>\underset{x\to x_0}{lim}g(x)\Rightarrow$ 存在 $\delta >0$, 当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时有 $f(x)>g(x)$

难度评级：

二、解析

A 选项：

$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$ 和 $\underset{x\to x_0}{lim}g(x)$ 存在，其实说的就是 $f(x_0)$ 和 $g(x_0)$ 存在，但是由 $f(x_0)>g(x_0)$ 推不出在 $x_0$ 点的附近有 $f(x)⩾g(x)$ 的性质——由一点处的性质，推不出一个范围内的性质。

B 选项：

由该选项的条件能推出 $A_0⩾B_0$, 但是推不出 $A_0>B_0$

C 选项：

该选项没有说极限存在，因此，$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$ 和 $\underset{x\to x_0}{lim}g(x)$ 可能都不存在——极限不存在也就没有哪个极限更大这一结论了。

D 选项：

本选项表述正确。

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