两条不同的曲线旋转形成的共有旋转体的体积怎么表示？

一、题目

由相交于三点 $(x_1,y_1)(x_2,y_2)(x_3,y_3)$ (其中 $x_1<x_2<x_3)$ 的两曲线 $y=f(x)>$ $0,y=g(x)>0$ 所围成的图形绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体体积为：

(A) ${\int }_{x_1}^{x_3}\pi [f(x)-g(x){]}^2\mathrm{d}x$
(B) ${\int }_{x_1}^{x_3}\pi [f^2(x)-g^2(x)]\mathrm{d}x$
(C) ${\int }_{x_1}^{x_3}\pi |f^2(x)-g^2(x)|\mathrm{d}x$
(D) $\left|{\int }_{x_1}^{x_3}\pi [f^2(x)-g^2(x)]\mathrm{d}x\right|$

难度评级：

二、解析

示意图如下：

当：

$$x\in (x_1,x_2)\Rightarrow f(x)>g(x)\Rightarrow$$

$$V_1=\pi {\int }_{x_1}^{x_2}[f^2(x)-g^2(x)]\mathrm{d}x=\pi {\int }_{x_1}^{x_2}|f^2(x)-g^2(x)|\mathrm{d}x$$

又当：

$$x\in (x_2,x_3)\Rightarrow f(x)<g(x)\Rightarrow$$

$$V_2=\pi {\int }_{x_2}^{x_3}[g^2(x)-f^2(x)]\mathrm{d}x=\pi {\int }_{x_2}^{x_3}|f^2(x)-g^2(x)|\mathrm{d}x$$

于是：

$$V=V_1+V_2=\pi {\int }_{x_1}^{x_3}|f^2(x)-g^2(x)|\mathrm{d}x$$

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