考研数学比较大小题目的解题思路：构造函数求极值

一、题目

设 $x\in (0,1)$, 证明: $(1+x){\ln }^2(1+x)<x^2$.

难度评级：

二、解析

构造函数：

$$f(x)=(1+x){\ln }^2(1+x)-x^2$$

于是：

$$(1+x){\ln }^2(1+x)<x^2\iff f(x)<0$$

进而：

$$f^{\prime }(x)=$$

$${\ln }^2(1+x)+(1+x)\cdot 2[\ln (1+x)]\cdot \frac{1}{1+x}-2x\Rightarrow$$

$$f^{\prime }(x)={\ln }^2(1+x)+2\ln (1+x)-2x$$

继续：

$$f^{\prime \prime }(x)=2[\ln (1+x)]\cdot \frac{1}{1+x}+\frac{2}{1+x}-2\Rightarrow$$

$$f^{\prime \prime }(x)=\frac{2}{1+x}\ln (1+x)+\frac{2}{1+x}-\frac{2(1+x)}{1+x}\Rightarrow$$

因此，当 $x\in (0,1)$ 时，有：

$$f^{\prime \prime }(x)=\frac{2}{1+x}[\ln (1+x)-x]<0$$

又：

$$f(0)=0f^{\prime }(0)=0f^{\prime \prime }(x)<0\Rightarrow$$

$$f(x)<0\Rightarrow$$

$$(1+x){\ln }^2(1+x)<x^2$$

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