根据一重积分奇偶对称的性质记忆二重积分奇偶对称的性质

一、前言

通过类比思考可以发现，一元函数对应的一重积分和二元函数对应的二重积分其实是有很多相似之处的。

于是，为了牢固掌握二重积分的奇偶对称性质，我们可以先从一重积分入手。下文是详细说明。

二、正文

我们都知道，由于 $y = \sin x$ 是一个奇函数，因此：

$$
\int_{-a}^{a} \sin x \mathrm{~ d} x = 0
$$

同时，由于 $y = \cos x$ 是一个偶函数，因此：

$$
\int_{-a}^{a} \cos x \mathrm{~ d} x = 2 \int_{0}^{a} \cos x \mathrm{~ d} x
$$

观察可知：

由于积分区间 $(-a, a)$ 关于 $Y$ 轴对称，因此，当被积函数关于 $x$ 是奇函数的时候，结果就等于零，当被积函数关于 $x$ 是偶函数的时候，结果就等于原积分区间一侧积分的二倍。

上面的规律延伸到二重积分也是类似的：

1. 在关于 $X$ 轴对称的积分区域上，若被积函数关于 $y$ 是奇函数，则结果等于零，若被积函数关于 $y$ 是偶函数，则结果等于原积分区域在 $X$ 轴一侧积分的二倍；

2. 在关于 $Y$ 轴对称的积分区域上，若被积函数关于 $x$ 是奇函数，则结果等于零，若被积函数关于 $x$ 是偶函数，则结果等于原积分区域在 $Y$ 轴一侧积分的二倍；

Next

标准描述如下：

(1) 如果积分区域 $D$ 关于 $x$ 轴对称, 则二重积分：

$$
\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma=
$$

$$
\left\{\begin{array}{ll}
0, & f(x,-y)=-f(x, y), \\
2 \iint_{D_{1}} f(x, y) \mathrm{d} \sigma, & f(x,-y)=f(x, y)
\end{array}\right.
$$

其中, $D_{1}$ 为 $D$ 在 $y \geq 0$ 的部分：

(2) 如果积分区域 $D$ 关于 $y$ 轴对称, 则二重积分

$$
\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma=
$$

$$
\left\{\begin{array}{ll}
0, & f(-x, y)=-f(x, y), \\
2 \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma, & f(-x, y)=f(x, y)
\end{array}\right.
$$

其中, $D_{1}$ 为 $D$ 在 $x \geq 0$ 的部分.

(3) 如果 $D$ 关于直线 $y=x$ 对称, 则

$$
\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma=
$$

$$
\iint_{D} f(y, x) \mathrm{d} \sigma=\frac{1}{2} \iint_{D}(f(x, y)+f(y, x)) \mathrm{d} \sigma.
$$

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