考研数学不定积分补充例题

题目 08

$$I=\int \arcsin x\cdot \arccos x\mathrm{d}x=?$$

解析 08

本题主要解题思路为：对反三角函数做整体代换、分部积分。

$$t=\arcsin x\Rightarrow x=\sin t$$

由于 $\arccos x$ 和 $\arcsin x$ 只相差 $\frac{\pi }{2}$:

$$\arccos x=\frac{\pi }{2}-\arcsin x=\frac{\pi }{2}-t$$

又：

$$\mathrm{d}x=\cos t\mathrm{d}t$$

于是：

$$I=\int t\cdot (\frac{\pi }{2}-t)\cos t\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$I=\int t(\frac{\pi }{2}-t)\mathrm{d}(\sin t)\Rightarrow$$

分部积分：

$$I=(\sin t)\cdot t(\frac{\pi }{2}-t)-\int \sin t(\frac{\pi }{2}-2t)\mathrm{d}t\Rightarrow$$

拆分：

$$I=t\sin t(\frac{\pi }{2}-t)-[\frac{\pi }{2}\int \sin t\mathrm{d}t-2\int t\sin t\mathrm{d}t]\Rightarrow$$

分部积分：

$$I=t\sin t(\frac{\pi }{2}-t)+\frac{\pi }{2}\cos t-2\int t\mathrm{d}(\cos t)\Rightarrow$$

$$I=t\sin t(\frac{\pi }{2}-t)+\frac{\pi }{2}\cos t–2[t\cos t-\int \cos t\mathrm{d}t]$$

$$I=t\sin t(\frac{\pi }{2}-t)+\frac{\pi }{2}\cos t–2t\cos t+2\sin t+C\Rightarrow$$

Tips:

如上标红所示的位置，括号外面的 “$2$” 是很容易在计算的过程中被忘掉的。

又：

$$t=\arcsin x\Rightarrow$$

$$t\sin t(\frac{\pi }{2}-t)=(\arcsin x)x(\frac{\pi }{2}-\arcsin x)\Rightarrow$$

$$t\sin t(\frac{\pi }{2}-t)=x\arcsin x\cdot \arccos x$$

$$\frac{\pi }{2}\cos t-2t\cos t=(\frac{\pi }{2}-2\arcsin x)\cos (\arcsin x)$$

$$\frac{\pi }{2}\cos t-2t\cos t=(\frac{\pi }{2}-2\arcsin x)\sqrt{1-x^2}$$

于是：

$$I=$$

$$x\arcsin x\cdot \arccos x+(\frac{\pi }{2}-2\arcsin x)\sqrt{1-x^2}+2x+C$$

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