“平方”套“平方”——这类积分你会算吗？

题目 02

$$I=\int \frac{1}{{(x^2+4)}^2}\mathrm{d}x=?$$

解析 02

解法一

令：

$$x=2\tan \theta \Rightarrow \mathrm{d}x=2\frac{1}{{\cos }^2\theta }\mathrm{d}\theta \Rightarrow$$

则：

$$I=\int \frac{1}{{(4+4{\tan }^2\theta )}^2}\cdot 2\frac{1}{{\cos }^2\theta }\mathrm{d}\theta \Rightarrow$$

$$I=\int \frac{1}{16{(1+{\tan }^2\theta )}^2}\cdot 2\frac{1}{{\cos }^2\theta }\mathrm{d}\theta \Rightarrow$$

$$I=\frac{1}{8}\int {\cos }^4\theta \cdot \frac{1}{{\cos }^2\theta }\mathrm{d}\theta \Rightarrow$$

$$I=\frac{1}{8}\int {\cos }^2\theta \mathrm{d}\theta \Rightarrow$$

$$I=\frac{1}{16}\int (1+\cos 2\theta )\mathrm{d}\theta \Rightarrow$$

$$I=\frac{1}{16}[\theta +\frac{1}{2}\sin 2\theta ]\Rightarrow I=\frac{1}{16}[\theta +\sin \theta \cos \theta ]$$

又：

$$x=2\tan \theta \Rightarrow \frac{x}{2}=\tan \theta \Rightarrow \theta =\arctan \left(\frac{x}{2}\right)\Rightarrow$$

$$I=\frac{1}{16}\arctan \left(\frac{x}{2}\right)+$$

$$\sin [\arctan \left(\frac{x}{2}\right)]\times \cos [\arctan \left(\frac{x}{2}\right)]+C\Rightarrow$$

又由 这篇文章 可知：

$$I=\frac{1}{16}[\arctan \left(\frac{x}{2}\right)+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}\cdot \frac{2}{\sqrt{4+x^2}}]+C\Rightarrow$$

$$I=\frac{1}{16}\arctan \left(\frac{x}{2}\right)+\frac{1}{8}\frac{x}{4+x^2}+C$$

解法二

$$I=\int \frac{1}{{(x^2+4)}^2}\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$$I=\int \frac{1}{{\left[4(1+{\left(\frac{x}{2}\right)}^2)\right]}^2}\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$$I=\frac{1}{16}\int \frac{\mathrm{d}x}{{(1+{\left(\frac{x}{2}\right)}^2)}^2}\Rightarrow$$

$$I=\frac{1}{16}\times 2\int \frac{1}{{[1+{\left(\frac{x}{2}\right)}^2]}^2}\mathrm{d}\left(\frac{x}{2}\right)\Rightarrow$$

令：

$$\frac{x}{2}={\tan }^2\Rightarrow t=\arctan \left(\frac{x}{2}\right)\Rightarrow$$

$$1+{\left(\frac{x}{2}\right)}^2=1+{\tan }^{2}t=\frac{1}{\cos s^{2}t}$$

$$\mathrm{d}\left(\frac{x}{2}\right)=\mathrm{d}(\tan t)=\frac{1}{{\cos }^{2}t}\mathrm{d}t\Rightarrow$$

则：

$$I=\frac{1}{8}\int \frac{1}{\frac{1}{{\cos }^{4}t}}\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}t}\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$I=\frac{1}{8}\int {\cos }^{2}t\mathrm{d}t=\frac{1}{8}\times \frac{1}{2}\int (1+\cos 2t)\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$I=\frac{1}{16}[t+\sin 2t]+c\Rightarrow$$

$$I=\frac{1}{16}t+\frac{2}{16}\sin t\cos t+c\Rightarrow$$

$$I=\frac{1}{16}\arctan \left(\frac{x}{2}\right)+\frac{1}{8}\frac{x}{4+x^2}+c.$$

解法三

对于这类“平方嵌套平方”的积分，甚至“$n$ 次方嵌套平方”的积分，我们还可以直接套用下面的这个公式，只是这个公式有一点复杂：

$$\int \frac{\mathrm{d}x}{{(x^2+a^2)}^n}=$$

$$\frac{x}{2(n-1)a^2{(x^2+a^2)}^{n-1}}+\frac{2n-3}{2(n-1)a^2}\int \frac{\mathrm{d}x}{{(x^2+a^2)}^{n-1}}$$

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