“平方”套“平方”——这类积分你会算吗?

题目 02

I=1(x2+4)2 dx=?

解析 02

解法一

令:

x=2tanθ dx=21cos2θ dθ

则:

I=1(4+4tan2θ)221cos2θ dθ

I=116(1+tan2θ)221cos2θ dθ

I=18cos4θ1cos2θ dθ

I=18cos2θ dθ

I=116(1+cos2θ) dθ

I=116[θ+12sin2θ]I=116[θ+sinθcosθ]

又:

x=2tanθx2=tanθθ=arctan(x2)

I=116arctan(x2)+

sin[arctan(x2)]×cos[arctan(x2)]+C

又由 这篇文章 可知:

I=116[arctan(x2)+x4+x224+x2]+C

I=116arctan(x2)+18x4+x2+C

解法二

I=1(x2+4)2 dx

I=1[4(1+(x2)2)]2 dx

I=116 dx(1+(x2)2)2

I=116×21[1+(x2)2]2 d(x2)

令:

x2=tan2t=arctan(x2)

1+(x2)2=1+tan2t=1coss2t

 d(x2)= d(tant)=1cos2t dt

则:

I=1811cos4t1cos2t dt

I=18cos2t dt=18×12(1+cos2t) dt

I=116[t+sin2t]+c

I=116t+216sintcost+c

I=116arctan(x2)+18x4+x2+c.

解法三

对于这类“平方嵌套平方”的积分,甚至“n 次方嵌套平方”的积分,我们还可以直接套用下面的这个公式,只是这个公式有一点复杂:

 dx(x2+a2)n=

x2(n1)a2(x2+a2)n1+2n32(n1)a2 dx(x2+a2)n1


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