“平方”套“平方”——这类积分你会算吗? 题目 02 I=∫1(x2+4)2 dx=? 解析 02 解法一 令: x=2tanθ⇒ dx=21cos2θ dθ⇒ 则: I=∫1(4+4tan2θ)2⋅21cos2θ dθ⇒ I=∫116(1+tan2θ)2⋅21cos2θ dθ⇒ I=18∫cos4θ⋅1cos2θ dθ⇒ I=18∫cos2θ dθ⇒ I=116∫(1+cos2θ) dθ⇒ I=116[θ+12sin2θ]⇒I=116[θ+sinθcosθ] 又: x=2tanθ⇒x2=tanθ⇒θ=arctan(x2)⇒ I=116arctan(x2)+ sin[arctan(x2)]×cos[arctan(x2)]+C⇒ 又由 这篇文章 可知: I=116[arctan(x2)+x4+x2⋅24+x2]+C⇒ I=116arctan(x2)+18x4+x2+C 解法二 I=∫1(x2+4)2 dx⇒ I=∫1[4(1+(x2)2)]2 dx⇒ I=116∫ dx(1+(x2)2)2⇒ I=116×2∫1[1+(x2)2]2 d(x2)⇒ 令: x2=tan2⇒t=arctan(x2)⇒ 1+(x2)2=1+tan2t=1coss2t d(x2)= d(tant)=1cos2t dt⇒ 则: I=18∫11cos4t⋅1cos2t dt⇒ I=18∫cos2t dt=18×12∫(1+cos2t) dt⇒ I=116[t+sin2t]+c⇒ I=116t+216sintcost+c⇒ I=116arctan(x2)+18x4+x2+c. 解法三 对于这类“平方嵌套平方”的积分,甚至“n 次方嵌套平方”的积分,我们还可以直接套用下面的这个公式,只是这个公式有一点复杂: ∫ dx(x2+a2)n= x2(n−1)a2(x2+a2)n−1+2n−32(n−1)a2∫ dx(x2+a2)n−1 考研数学思维导图 高等数学 涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。 线性代数 以独特的视角解析线性代数,让繁复的知识变得直观明了。 特别专题 通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。 让考场上没有难做的数学题! 相关文章: 典型例题汇总:不定积分(凑微分、分部积分、一般有理式积分,三角函数有理式积分等) 典型例题汇总:定积分(奇偶性、几何意义、三角代换、区间再现) 当二重积分的积分区域是圆形时一般考虑用极坐标:当这个圆形区域的位置并不标准时,可以考虑平移代换 2014年考研数二第17题解析:二重积分、极坐标系 当二重积分的积分区域不是圆形但被积函数和圆形有关时,也可以尝试使用极坐标系求解 2016年考研数二第18题解析:二重积分、二重积分的化简、极坐标系下二重积分的计算 计算平面曲线的弧长:附考研数学中计算平面曲线弧长的全部公式 2011年考研数二真题第13题解析:二重积分的计算,三种解法 2017年考研数二第20题解析:二重积分、二重积分的化简、直角坐标系转极坐标系 当积分区域出现“圆形”时,就要考虑转换为极坐标系求解 用两种不同的思路解决一道隐函数变量替换的题目 一个看上去很难的积分题:某些隐函数其实是“假”的 计算定积分的神奇武器:区间再现公式(附若干例题) 2015年考研数二第06题解析 巧用三角函数凑微分,化不同为相同:∫ cos2xcos2x(1+sin2x) dx 有根号又有平方的累次积分怎么求解?用极坐标系试一试吧! 在一阶微分方程中,哪个变量更“简单”就把哪个变量看做因变量处理 2018年考研数二第15题解析:分部积分法、求导 定积分运算时的积分上下限:什么时候变?什么时候不变? 遇高幂就降幂:∫ 2+x(1+x2)2 dx 二重积分中经常使用转变积分区域的形式去根号 2012年考研数二第18题解析:极坐标系下二重积分的计算 两种方法去根号:分子有理化或整体代换 计算平面曲线的弧长需要知道积分上下限,但如果这个积分上线限题目中没有给出该怎么办? 极坐标系和直角坐标系累次积分互相转换:别忘了那个特别的 r 页码: 页 1, 页 2