三角函数中的和差化积与积化和差公式也很重要

一、题目

$$I=\underset{x\to 0}{lim}\frac{\cos (\sin x)-\cos x}{(1-\cos x){\sin }^{2}x}=?$$

难度评级：

二、解析

$$I=\underset{x\to 0}{lim}\frac{\cos (\sin x)-\cos x}{(1-\cos x){\sin }^{2}x}=$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\cos (\sin x)-\cos x}{\frac{1}{2}{x}^2\cdot x^2}$$

又（和差化积）：

$$\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}$$

因此：

$$\cos (\sin x)-\cos x=-2\sin \frac{\sin x+x}{2}\sin \frac{\sin x-x}{2}$$

当 $x\to 0$ 时，有：

$$\cos (\sin x)-\cos x\sim$$

$$-2\times \frac{\sin x+x}{2}\times \frac{\sin x-x}{2}=\frac{1}{2}(x+\sin x)(x-\sin x)$$

于是：

$$I=\underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{1}{2}(x+\sin x)(x-\sin x)}{\frac{1}{2}{x}^4}\Rightarrow$$

$$I=\underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{1}{2}\cdot 2x(x-\sin x)}{\frac{1}{2}{x}^4}\Rightarrow$$

$$I=\underset{x\to 0}{lim}\frac{2x(x-\sin x)}{x^4}\Rightarrow$$

$$I=\underset{x\to 0}{lim}\frac{2(x-\sin x)}{x^3}\Rightarrow$$

洛必达运算：

$$I=\underset{x\to 0}{lim}\frac{2\cdot (1-\cos x)}{3x^2}=$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{2\cdot \frac{1}{2}{x}^2}{3x^2}=\frac{1}{3}$$

Tips:

$x–\sin x$ $\sim$ $\frac{1}{6}{x}^3$ $\iff$ 洛必达运算 $\iff$ $1–\cos x$ $\sim$ $\frac{1}{2}{x}^2$

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