如果积分区域关于 y=x 对称，那么调换被积函数中的 x 与 y 不会改变积分的值

一、题目

已知，积分区域 $D = {(x, y) ∣ 1 ⩽ x^{2} + y^{2} ⩽ e^{2}}$ , 则 $\iint_{D} x^{2} \ln (x^{2} + y^{2}) d σ = ?$

难度评级：

根据题目，我们可以绘制出如图所示的积分区域示意图：

由于该积分区域关于直线 $y = x$ 对称，因此：

$I = \iint_{D} x^{2} \ln (x^{2} + y^{2}) d σ$

$K = \iint_{D} y^{2} \ln (x^{2} + y^{2}) d σ \Rightarrow$

$I = K \Rightarrow$

$I = \frac{1}{2} (I + K) = \frac{1}{2} \iint_{D} (x^{2} + y^{2}) \ln (x^{2} + y^{2}) \cdot d σ \Rightarrow$

${\begin{cases} x = r \cos θ \\ y = r \sin θ \\ d x d y = r d r d θ \end{cases} \Rightarrow$

$\frac{1}{2} \iint_{D} r^{2} \ln (r^{2}) \cdot r d r d θ =$

$\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} d θ \int_{1}^{e} r^{3} \ln (r^{2}) d r =$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} d θ \int_{1}^{e} r^{2} \ln (r^{2}) d (r^{2}) =$

$\frac{1}{4} \int_{0}^{2 π} [\int_{1}^{e^{2}} t \ln (t) d t] d θ =$

$\frac{1}{4} [\int_{1}^{e^{2}} t \ln t d t] \cdot \int_{0}^{2 π} 1 d θ =$

$\frac{2 π}{4} \int_{1}^{e^{2}} t \ln t d t = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2} \int_{1}^{e^{2}} \ln t d (t^{2}) =$

$\frac{π}{4} [{t^{2} \ln t |}_{1}^{e^{2}} - \int_{1}^{e^{2}} t d t] =$

$\frac{π}{4} [e^{4} \ln e^{2} - 0 - {\frac{1}{2} t^{2} |}_{1}^{e^{2}}] =$

$\frac{π}{4} [2 e^{4} - (\frac{1}{2} e^{4} - \frac{1}{2})] =$

$\frac{π}{4} (2 e^{4} - \frac{1}{2} e^{4} + \frac{1}{2}) = \frac{π}{4} (\frac{3}{2} e^{4} + \frac{1}{2}) =$

$\frac{π}{8} (e^{4} + 1)$

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