当被积函数可以分离的时候，四重积分就是两个二重积分的积

一、题目

已知，$f(x,y)$ 连续，且 $f(x,y)$ $=$ $xy+{\iint }_{D}f(u,v)\mathrm{d}u\mathrm{d}v$, 其中 $D$ 是由 $y=0,y=x^2,x=1$ 所围区域，则 $f(x,y)=?$

难度评级：

二、解析

已知：

$$f(x,y)=xy+{\iint }_{D}f(u,v)\mathrm{d}u\mathrm{d}v$$

对上式两边同时进行二重积分，得：

$${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=$$

$${\iint }_{D}xy\mathrm{d}x\mathrm{d}y+{\iint }_D\left[{\iint }_{D}f(u,v)\mathrm{d}u\mathrm{d}v\right]\mathrm{d}x\mathrm{d}y\Rightarrow$$

进而：

$${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=$$

$$\begin{array}{}\text{(1)}& {\iint }_{D}xy\mathrm{d}x\mathrm{d}y+{\iint }_{D}f(u,v)\mathrm{d}u\mathrm{d}v\cdot {\iint }_D\mathrm{d}x\mathrm{d}y\end{array}$$

又：

$${\iint }_{D}xy\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int }_0^{1}x\mathrm{d}x{\int }_0^{x^2}y\mathrm{d}y=$$

$$\frac{1}{2}{\int }_0^1{x}^5\mathrm{d}x={\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{6}{x}^6|}_0^1=\frac{1}{12}$$

又：

$${\iint }_D\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int }_0^1\mathrm{d}x{\int }_0^{x^2}\mathrm{d}y={\int }_0^1{x}^2\mathrm{d}x=$$

$${\frac{1}{3}{x}^3|}_0^1=\frac{1}{3}$$

Tips:

由于符号不能改变函数本身，因此 ${\iint }_{D}f(u,v)\mathrm{d}u\mathrm{d}v$ 表示的就是 ${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$

于是，(1) 式可以转化为：

$${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\frac{1}{12}+\frac{1}{3}{\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\Rightarrow$$

$$\frac{2}{3}{\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\frac{1}{12}\Rightarrow$$

$${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y-\frac{1}{3}{\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\frac{1}{12}\Rightarrow$$

$$\frac{2}{3}{\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\frac{1}{12}\Rightarrow$$

$${\iint }_{D}f(x,y)=\frac{1}{12}\times \frac{3}{2}=\frac{1}{8}.$$

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