一般情况下，二次幂或者三次幂及以下的麦克劳林公式（泰勒公式）可以直接用等价无穷小代替

一、题目

已知 $x \rightarrow 0$ 时，函数 $f(x)=a x+b x^{2}+\ln (1+x)$ 与 $g(x)=\mathrm{e}^{x^{2}}-\cos x$ 是等价无穷小, 则 $a b=?$

难度评级：

二、解析

由题可知，当 $x \rightarrow 0$ 时：

$$
\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{a x+b x^{2}+\ln (1+x)}{e^{x^{2}}-\cos x}=1
$$

又由泰勒公式可知，函数 $K(x)$ 在点 $x = x_{0}$ 处的展开式如下：

$$
\textcolor{orange}{
K(x) = K \left(x_{0}\right) + K^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right) + \frac{K^{\prime}\left(x_{0}\right)}{2 !}\left(x-x_{0}\right)^{2} + \cdots
}
$$

于是，$\ln (1+x)$ 在点 $x_{0} = 0$ 处的麦克劳林展开式为：

$$
\left.\ln (1+x)\right|_{x_{0}=0}=
$$

$$
\ln x_{0} + \frac{1}{1 + x_{0}} \cdot (x-0) + \frac{1}{2} \cdot \frac{-1}{\left(1+x_{0}\right)^{2}} \cdot (x – 0)^{2} \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{springgreen}{
\left.\ln (1+x)\right|_{x_{0}=0}=x-\frac{1}{2} x^{2}
}
$$

$\cos x$ 在点 $x_{0} = 0$ 处的麦克劳林展开式为：

$$
\left.\cos x\right|_{x_{0}=0}=\cos x_{0} – \sin x_{0} \cdot(x-0) + \frac{-\cos x_{0}}{2 !}(x-0)^{2} \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{springgreen}{
\left.\cos x\right|_{x_{0}=0}=1-\frac{1}{2} x^{2}
}
$$

$e^{x^{2}}$ 在点 $x_{0} = 0$ 处的麦克劳林展开式为：

$$
\left.e^{x^{2}}\right|_{x_{0}=0}=
$$

$$
e^{x_{0}^{2}}+2 x_{0} e^{x_{0}^{2}}\left(x-0 x_{0}\right) + \frac{1}{2}\left(2 e^{x_{0}^{2}}+4 x_{0}^{2} e^{x_{0}^{2}}\right)\left(x-x_{0}\right)^{2} \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{springgreen}{
\left.e^{x^{2}}\right|_{x_{0}=0}=1+x^{2}
}
$$

Tips:

从上面的计算结果可知，由于只需要用到最高 2 次幂，因此，用等价无穷小代还也可以（当 $x \rightarrow 0$ 时）：$x – \ln (1 + x) \sim \frac{1}{2} x^{2}$, $\quad 1 – \cos x \sim \frac{1}{2} x^{2}$, $\quad e^{x^{2}} – 1 \sim x^{2}.$

于是：

$$
\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{a x+b x^{2}+\left(x-\frac{1}{2} x^{2}\right)}{\left(1+x^{2}\right) – \left(1-\frac{1}{2} x^{2}\right)} \Rightarrow
$$

$$
\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{a x+b x^{2}+x-\frac{1}{2} x^{2}}{1+x^{2}-1+\frac{1}{2} x^{2}} \Rightarrow
$$

$$
\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{ \textcolor{yellow}{(a+1) x } + \textcolor{red}{ \left(b-\frac{1}{2}\right) x^{2} } }{ \textcolor{red}{ \frac{3}{2} x^{2} } }=1 \Rightarrow \text{ 分子分母对应 } \Rightarrow
$$

$$
\left\{\begin{array}{l}\textcolor{yellow}{a+1=0} \\ \textcolor{red}{b-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} } \end{array} \Rightarrow \begin{cases}
& a=-1; \\
& b = 2
\end{cases}\right.
\Rightarrow \textcolor{orange}{ ab = -2 }.
$$

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