有极值点没有拐点的曲线你见过吗？

一、题目

已知，函数 $f(x)$ $=$ $\left(x^{2}+a\right) \mathrm{e}^{x}$, 且 $f(x)$ 没有极值点, 但曲线 $y=f(x)$ 有拐点，则 $a$ 的取值范围是多少？

难度评级：

二、解析

$$
f(x)=\left(x^{2}+a\right) e^{x} \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime}(x)=2 x e^{x}+\left(x^{2}+a\right) e^{x}>0 \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime}(x)=\left(x^{2}+2 x+a\right) e^{x}>0 \Rightarrow
$$

$$
x^{2}+2 x+a>0 \Rightarrow
$$

由于 $y = x^{2}+2 x+a$ 的函数图像是开口向上的，则如果 $y$ $=$ $x^{2}+2 x+a$ 的极小值大于零，就能保证 $y = x^{2}+2 x+a$ 整体大于零（即没有极值点）：

$$
\left(x^{2}+2 x+a\right)_{x}^{\prime}=0 \Rightarrow 2 x+2=0 \Rightarrow x=-1 \Rightarrow
$$

当 $x=-1$ 时：

$$
x^{2}+2 x+a>0 \Rightarrow 1-2+a>0 \Rightarrow
$$

$$
a>1
$$

又：

$$
f^{\prime \prime}(x)=(2 x+2) e^{x}+\left(x^{2}+2 x+a\right) e^{x} \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime \prime}(x)=\left(x^{2}+4 x+2+a\right) e^{x} \leqslant 0 \Rightarrow
$$

$$
x^{2}+4 x+2+a \leqslant 0 \Rightarrow
$$

同理，由于 $y = x^{2}+4 x+2+a$ 的函数图像是开口向上的，则如果 $y$ $=$ $x^{2}+4 x+2+a$ 的极小值小于或等于零，就能保证 $y = x^{2}+4 x+2+a$ 有 $1$ 个或 $2$ 个等于零的点（即存在拐点）：

$$
\left(x^{2}+4 x+2+a\right)^{\prime} x=0 \Rightarrow
$$

$$
2 x+4=0 \Rightarrow x=-2 \Rightarrow
$$

$$
x=-2 \Rightarrow x^{2}+4 x+2+a \leq 0 \Rightarrow
$$

$$
4-8+2+a \leq 0 \Rightarrow-2+a \leq 0 \Rightarrow
$$

$$
a \leq-2
$$

综上可知：

$$
\textcolor{orange}{
a \in (1, -2]
}
$$

---