有极值点没有拐点的曲线你见过吗？

一、题目

已知，函数 $f (x)$ $=$ $(x^{2} + a) e^{x}$ , 且 $f (x)$ 没有极值点, 但曲线 $y = f (x)$ 有拐点，则 $a$ 的取值范围是多少？

难度评级：

$f (x) = (x^{2} + a) e^{x} \Rightarrow$

$f^{'} (x) = 2 x e^{x} + (x^{2} + a) e^{x} > 0 \Rightarrow$

$f^{'} (x) = (x^{2} + 2 x + a) e^{x} > 0 \Rightarrow$

$x^{2} + 2 x + a > 0 \Rightarrow$

由于 $y = x^{2} + 2 x + a$ 的函数图像是开口向上的，则如果 $y$ $=$ $x^{2} + 2 x + a$ 的极小值大于零，就能保证 $y = x^{2} + 2 x + a$ 整体大于零（即没有极值点）：

${(x^{2} + 2 x + a)}_{x}^{'} = 0 \Rightarrow 2 x + 2 = 0 \Rightarrow x = - 1 \Rightarrow$

当 $x = - 1$ 时：

$x^{2} + 2 x + a > 0 \Rightarrow 1 - 2 + a > 0 \Rightarrow$

$a > 1$

又：

$f^{''} (x) = (2 x + 2) e^{x} + (x^{2} + 2 x + a) e^{x} \Rightarrow$

$f^{''} (x) = (x^{2} + 4 x + 2 + a) e^{x} ⩽ 0 \Rightarrow$

$x^{2} + 4 x + 2 + a ⩽ 0 \Rightarrow$

同理，由于 $y = x^{2} + 4 x + 2 + a$ 的函数图像是开口向上的，则如果 $y$ $=$ $x^{2} + 4 x + 2 + a$ 的极小值小于或等于零，就能保证 $y = x^{2} + 4 x + 2 + a$ 有 $1$ 个或 $2$ 个等于零的点（即存在拐点）：

${(x^{2} + 4 x + 2 + a)}^{'} x = 0 \Rightarrow$

$2 x + 4 = 0 \Rightarrow x = - 2 \Rightarrow$

$x = - 2 \Rightarrow x^{2} + 4 x + 2 + a \leq 0 \Rightarrow$

$4 - 8 + 2 + a \leq 0 \Rightarrow - 2 + a \leq 0 \Rightarrow$

$a \leq - 2$

综上可知：

$a \in (1, - 2]$

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