做了这道题，你对分块矩阵性质的理解很可能将会更上一层楼

一、题目

已知，线性方程组 $A x=\alpha$ 有解, $\left(\begin{array}{l}A \\ B\end{array}\right) x=\left(\begin{array}{l}\alpha \\ \beta\end{array}\right)$ 无解，则下列结论中正确的是哪个？

A. $r(B, \beta)=r(B)+1$

B. $r\left(\begin{array}{ll}A & \alpha \\ B & \beta\end{array}\right)<r\left(\begin{array}{l}A \\ B\end{array}\right)+1$

C. $r\left[B^{\mathrm{\top}}(B, \beta)\right]>r\left(B^{\mathrm{\top}} B\right)$

D. $r\left[\left(A^{\mathrm{\top}}, B^{\mathrm{\top}}\right)\left(\begin{array}{ll}A & \alpha \\ B & \beta\end{array}\right)\right]=r\left[\left(A^{\mathrm{\top}}, B^{\mathrm{\top}}\right)\left(\begin{array}{l}A \\ B\end{array}\right)\right]$

难度评级：

二、解析

A 选项

首先：

$$
\left(\begin{array}{l}A \\ B\end{array}\right) x=\left(\begin{array}{l}\alpha \\ \beta\end{array}\right) \Leftrightarrow \begin{cases}
& A x = \alpha \\
& B x = \beta
\end{cases}
$$

但是，由 $A x=\alpha$ 有解, $\left(\begin{array}{l}A \\ B\end{array}\right) x=\left(\begin{array}{l}\alpha \\ \beta\end{array}\right)$ 无解，并不能推出 $B x = \beta$ 无解，因为我们在 $\left(\begin{array}{l}A \\ B\end{array}\right) x=\left(\begin{array}{l}\alpha \\ \beta\end{array}\right)$ 这个式子中，需要将 $\left(\begin{array}{l}A \\ B\end{array}\right)$ 和 $\left(\begin{array}{l}\alpha \\ \beta\end{array}\right)$ 作为一个整体去考虑。

详细的说明如下：

若 $\left(\begin{array}{l}A \\ B\end{array}\right) x=\left(\begin{array}{l}\alpha \\ \beta\end{array}\right)$ 有解，就是说，存在公共解，使得下面这个方程组中的两个方程都成立：

$$
\begin{cases}
& A x = \alpha \\
& B x = \beta
\end{cases}
$$

因此，若 $\left(\begin{array}{l}A \\ B\end{array}\right) x=\left(\begin{array}{l}\alpha \\ \beta\end{array}\right)$ 无解，就是说，$A x = \alpha$ 和 $B x = \beta$ 没有共有的公共解——

但是，这并不意味着 $B x = \beta$ 无解。

接下来，我们看看秩与非齐次线性方程组有无解之间的关系（其中，$A$ 表示系数矩阵，$(A, b)$ 表示增广矩阵）：

首先，若 $r(A) < r(A, b)$ 则表示方程组无解。同时，由于 $b$ 是一维列向量，且 $r(A) = r(A)$ 一定成立，因此，也可以说，当 $r(A) + 1 = r(A, b)$ 时说明该方程组无解；

接着，当 $r(A) = r(A, b) = n$ 时，该方程组有唯一解，当 $r(A) = r(A, b) < n$ 时，该方程组有无穷多解。

（其中，$n$ 表示方程组中未知数的个数，或者系数矩阵的列数。）

明白了上面这些内容，我们就很容易知道，A 选项中所说的 $r(B, \beta)=r(B)+1$ 其实就是说 $B x = \beta$ 无解，但很显然，这是错的。

综上，A 选项错误。

B 选项

根据 A 选项的分析可知，$\left(\begin{array}{l}A \\ B\end{array}\right) x=\left(\begin{array}{l}\alpha \\ \beta\end{array}\right)$ 无解，就意味着：

$$
r\left(\begin{array}{l}A \\ B\end{array}\right) < r\left(\begin{array}{ll}A & \alpha \\ B & \beta\end{array}\right)
$$

或者说：

$$
r\left(\begin{array}{l}A \\ B\end{array}\right) + 1 = r\left(\begin{array}{ll}A & \alpha \\ B & \beta\end{array}\right)
$$

因此，B 选项中所给的下面这个式子一定不成立：

$$
r\left(\begin{array}{ll}A & \alpha \\ B & \beta\end{array}\right)<r\left(\begin{array}{l}A \\ B\end{array}\right)+1
$$

综上，B 选项错误。

C 选项

已知，对于符合运算规律的矩阵 $A$ 和矩阵 $B$ 而言，有如下运算规律：

$$
r(A)=r\left(A^{\top} A\right)=r\left(A A^{\top}\right)=r\left(A^{\top}\right)
$$

$$
r(A B) \leqslant r(A) \quad r(A B) \leqslant r(B)
$$

$$
r[A, B] \geqslant r(A) \quad r[A, B] \geqslant r(B)
$$

因此：

$$
r\left[B^{\top}(B, \beta)\right]=r\left(B^{\top} B, B^{\top} \beta\right) \leqslant r\left(B^{\top} B\right)
$$

又：

$$
r\left(B^{\top} B\right)=r(B)
$$

于是：

$$
r\left(B^{\top} B, B^{\top} \beta\right) \leqslant r(B)=r\left(B^{\top} B\right) \Rightarrow
$$

$$
r\left[B^{\top}(B, \beta)\right] \leqslant r\left(B^{\top} B\right)
$$

综上，C 选项错误。

D 选项（第一种解法）

由于：

$$
\left(\begin{array}{c}
A \\
B
\end{array}\right)^{\top} = (A^{\top}, B^{\top}) \quad (A, B)^{\top} = \left(\begin{array}{c}
A^{\top} \\
B^{\top}
\end{array}\right)
$$

因此，由：

$$
r\left(\begin{array}{c}
A \\
B
\end{array}\right)<r\left(\begin{array}{ll}
A & \alpha \\
B & \beta
\end{array}\right)
$$

可得：

$$
r\left(\begin{array}{l}
A \\
B
\end{array}\right) = r\left(A^{\top}, B^{\top}\right)<r\left(\begin{array}{ll}
A & \alpha \\
B & \beta
\end{array}\right)
$$

进而（两个矩阵相乘所得的矩阵的秩取决于这两个矩阵中秩较小的那一个矩阵）：

$$
r\left[\left(A^{\top}, B^{\top}\right)\left(\begin{array}{ll}
A & \alpha \\
B & \beta
\end{array}\right)\right]=r\left(A^{\top}, B^{\top}\right)
$$

又：

$$
r\left[\left(A^{\top}, B^{\top}\right)\left(\begin{array}{l}
A \\
B
\end{array}\right)\right]=r\left[\left(\begin{array}{l}
A \\
B
\end{array}\right)^{\top}\left(\begin{array}{l}
A \\
B
\end{array}\right)\right]=r\left(\begin{array}{l}
A \\
B
\end{array}\right)^{\top}=
$$

$$
r\left(A^{\top}, B^{\top}\right)
$$

于是得证：

$$
r\left[\left(A^{\top}, B^{\top}\right)\left(\begin{array}{ll}
A & \alpha \\
B & \beta
\end{array}\right)\right]=r\left[\left(A^{\top}, B^{\top}\right)\left(\begin{array}{l}
A \\
B
\end{array}\right)\right]
$$

综上，D 选项正确。

D 选项（第二种解法）

由于：

$$
r\left[\left(A^{\top}, B^{\top}\right)\right]=r\left[\left(A^{\top}, B^{\top}\right)\left(\begin{array}{l}
A \\
B
\end{array}\right)\right]
$$

又：

$$
r\left[\left(A^{\top}, B^{\top}\right)\left(\begin{array}{ll}
A & \alpha \\
B & \beta
\end{array}\right)\right] \textcolor{orange}{\leq} r\left[\left(A^{\top}, B^{\top}\right)\left(\begin{array}{l}
A \\
B
\end{array}\right)\right]
$$

且：

$$
r\left[\left(A^{\top}, B^{\top}\right)\left(\begin{array}{ll}
B & \alpha \\
B & \beta
\end{array}\right)\right]=
$$

$$
r\left[\left(A^{\top}, B^{\top}\right)\left(\begin{array}{l}A \\ B\end{array}\right),\left(A^{\top}, B^{\top}\right)\left(\begin{array}{l}\alpha \\ \beta\end{array}\right)\right] \textcolor{orange}{\ge} r\left[\left(A^{\top}, B^{\top}\right)\left(\begin{array}{l}A \ B\end{array}\right)\right]
$$

因此，符合条件的只有：

$$
r\left[\left(A^{\top}, B^{\top}\right)\left(\begin{array}{ll}A & \alpha \\ B & \beta\end{array}\right)\right]=r\left[\left(A^{\top}, B^{\top}\right)\left(\begin{array}{l}A \\ B\end{array}\right)\right]
$$

综上，D 选项正确。

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