做了这道题，你对分块矩阵性质的理解很可能将会更上一层楼

一、题目

已知，线性方程组 $Ax=\alpha$ 有解, $\left(\begin{array}{l}A\\ B\end{array}\right)x=\left(\begin{array}{l}\alpha \\ \beta \end{array}\right)$ 无解，则下列结论中正确的是哪个？

A. $r(B,\beta )=r(B)+1$

B. $r\left(\begin{array}{ll}A& \alpha \\ B& \beta \end{array}\right)<r\left(\begin{array}{l}A\\ B\end{array}\right)+1$

C. $r[B^{\mathrm{\top }}(B,\beta )]>r\left(B^{\mathrm{\top }}B\right)$

D. $r\left[(A^{\mathrm{\top }},B^{\mathrm{\top }})\left(\begin{array}{ll}A& \alpha \\ B& \beta \end{array}\right)\right]=r\left[(A^{\mathrm{\top }},B^{\mathrm{\top }})\left(\begin{array}{l}A\\ B\end{array}\right)\right]$

难度评级：

二、解析

A 选项

首先：

$$\left(\begin{array}{l}A\\ B\end{array}\right)x=\left(\begin{array}{l}\alpha \\ \beta \end{array}\right)\iff \{\begin{array}{ll}& Ax=\alpha \\ & Bx=\beta \end{array}$$

但是，由 $Ax=\alpha$ 有解, $\left(\begin{array}{l}A\\ B\end{array}\right)x=\left(\begin{array}{l}\alpha \\ \beta \end{array}\right)$ 无解，并不能推出 $Bx=\beta$ 无解，因为我们在 $\left(\begin{array}{l}A\\ B\end{array}\right)x=\left(\begin{array}{l}\alpha \\ \beta \end{array}\right)$ 这个式子中，需要将 $\left(\begin{array}{l}A\\ B\end{array}\right)$ 和 $\left(\begin{array}{l}\alpha \\ \beta \end{array}\right)$ 作为一个整体去考虑。

详细的说明如下：

若 $\left(\begin{array}{l}A\\ B\end{array}\right)x=\left(\begin{array}{l}\alpha \\ \beta \end{array}\right)$ 有解，就是说，存在公共解，使得下面这个方程组中的两个方程都成立：

$$\{\begin{array}{ll}& Ax=\alpha \\ & Bx=\beta \end{array}$$

因此，若 $\left(\begin{array}{l}A\\ B\end{array}\right)x=\left(\begin{array}{l}\alpha \\ \beta \end{array}\right)$ 无解，就是说，$Ax=\alpha$ 和 $Bx=\beta$ 没有共有的公共解——

但是，这并不意味着 $Bx=\beta$ 无解。

接下来，我们看看秩与非齐次线性方程组有无解之间的关系（其中，$A$ 表示系数矩阵，$(A,b)$ 表示增广矩阵）：

首先，若 $r(A)<r(A,b)$ 则表示方程组无解。同时，由于 $b$ 是一维列向量，且 $r(A)=r(A)$ 一定成立，因此，也可以说，当 $r(A)+1=r(A,b)$ 时说明该方程组无解；

接着，当 $r(A)=r(A,b)=n$ 时，该方程组有唯一解，当 $r(A)=r(A,b)<n$ 时，该方程组有无穷多解。

（其中，$n$ 表示方程组中未知数的个数，或者系数矩阵的列数。）

明白了上面这些内容，我们就很容易知道，A 选项中所说的 $r(B,\beta )=r(B)+1$ 其实就是说 $Bx=\beta$ 无解，但很显然，这是错的。

综上，A 选项错误。

B 选项

根据 A 选项的分析可知，$\left(\begin{array}{l}A\\ B\end{array}\right)x=\left(\begin{array}{l}\alpha \\ \beta \end{array}\right)$ 无解，就意味着：

$$r\left(\begin{array}{l}A\\ B\end{array}\right)<r\left(\begin{array}{ll}A& \alpha \\ B& \beta \end{array}\right)$$

或者说：

$$r\left(\begin{array}{l}A\\ B\end{array}\right)+1=r\left(\begin{array}{ll}A& \alpha \\ B& \beta \end{array}\right)$$

因此，B 选项中所给的下面这个式子一定不成立：

$$r\left(\begin{array}{ll}A& \alpha \\ B& \beta \end{array}\right)<r\left(\begin{array}{l}A\\ B\end{array}\right)+1$$

综上，B 选项错误。

C 选项

已知，对于符合运算规律的矩阵 $A$ 和矩阵 $B$ 而言，有如下运算规律：

$$r(A)=r\left(A^{\mathrm{\top }}A\right)=r\left(A{A}^{\mathrm{\top }}\right)=r\left(A^{\mathrm{\top }}\right)$$

$$r(AB)⩽r(A)r(AB)⩽r(B)$$

$$r[A,B]⩾r(A)r[A,B]⩾r(B)$$

因此：

$$r[B^{\mathrm{\top }}(B,\beta )]=r(B^{\mathrm{\top }}B,B^{\mathrm{\top }}\beta )⩽r\left(B^{\mathrm{\top }}B\right)$$

又：

$$r\left(B^{\mathrm{\top }}B\right)=r(B)$$

于是：

$$r(B^{\mathrm{\top }}B,B^{\mathrm{\top }}\beta )⩽r(B)=r\left(B^{\mathrm{\top }}B\right)\Rightarrow$$

$$r[B^{\mathrm{\top }}(B,\beta )]⩽r\left(B^{\mathrm{\top }}B\right)$$

综上，C 选项错误。

D 选项（第一种解法）

由于：

$${\left(\begin{array}{c}A\\ B\end{array}\right)}^{\mathrm{\top }}=(A^{\mathrm{\top }},B^{\mathrm{\top }})(A,B{)}^{\mathrm{\top }}=\left(\begin{array}{c}{A}^{\mathrm{\top }}\\ B^{\mathrm{\top }}\end{array}\right)$$

因此，由：

$$r\left(\begin{array}{c}A\\ B\end{array}\right)<r\left(\begin{array}{ll}A& \alpha \\ B& \beta \end{array}\right)$$

可得：

$$r\left(\begin{array}{l}A\\ B\end{array}\right)=r(A^{\mathrm{\top }},B^{\mathrm{\top }})<r\left(\begin{array}{ll}A& \alpha \\ B& \beta \end{array}\right)$$

进而（两个矩阵相乘所得的矩阵的秩取决于这两个矩阵中秩较小的那一个矩阵）：

$$r\left[(A^{\mathrm{\top }},B^{\mathrm{\top }})\left(\begin{array}{ll}A& \alpha \\ B& \beta \end{array}\right)\right]=r(A^{\mathrm{\top }},B^{\mathrm{\top }})$$

又：

$$r\left[(A^{\mathrm{\top }},B^{\mathrm{\top }})\left(\begin{array}{l}A\\ B\end{array}\right)\right]=r\left[{\left(\begin{array}{l}A\\ B\end{array}\right)}^{\mathrm{\top }}\left(\begin{array}{l}A\\ B\end{array}\right)\right]=r{\left(\begin{array}{l}A\\ B\end{array}\right)}^{\mathrm{\top }}=$$

$$r(A^{\mathrm{\top }},B^{\mathrm{\top }})$$

于是得证：

$$r\left[(A^{\mathrm{\top }},B^{\mathrm{\top }})\left(\begin{array}{ll}A& \alpha \\ B& \beta \end{array}\right)\right]=r\left[(A^{\mathrm{\top }},B^{\mathrm{\top }})\left(\begin{array}{l}A\\ B\end{array}\right)\right]$$

综上，D 选项正确。

D 选项（第二种解法）

由于：

$$r\left[(A^{\mathrm{\top }},B^{\mathrm{\top }})\right]=r\left[(A^{\mathrm{\top }},B^{\mathrm{\top }})\left(\begin{array}{l}A\\ B\end{array}\right)\right]$$

又：

$$r\left[(A^{\mathrm{\top }},B^{\mathrm{\top }})\left(\begin{array}{ll}A& \alpha \\ B& \beta \end{array}\right)\right]\le r\left[(A^{\mathrm{\top }},B^{\mathrm{\top }})\left(\begin{array}{l}A\\ B\end{array}\right)\right]$$

且：

$$r\left[(A^{\mathrm{\top }},B^{\mathrm{\top }})\left(\begin{array}{ll}B& \alpha \\ B& \beta \end{array}\right)\right]=$$

$$r[(A^{\mathrm{\top }},B^{\mathrm{\top }})\left(\begin{array}{l}A\\ B\end{array}\right),(A^{\mathrm{\top }},B^{\mathrm{\top }})\left(\begin{array}{l}\alpha \\ \beta \end{array}\right)]\ge r\left[(A^{\mathrm{\top }},B^{\mathrm{\top }})\left(\begin{array}{l}AB\end{array}\right)\right]$$

因此，符合条件的只有：

$$r\left[(A^{\mathrm{\top }},B^{\mathrm{\top }})\left(\begin{array}{ll}A& \alpha \\ B& \beta \end{array}\right)\right]=r\left[(A^{\mathrm{\top }},B^{\mathrm{\top }})\left(\begin{array}{l}A\\ B\end{array}\right)\right]$$

综上，D 选项正确。

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