方程的根就是对应的函数的零点

一、题目

方程 $x^2-x\sin x-\cos x=0$ 在区间 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 内有没有根？如果有根的话，有几个根？

难度评级：

二、解析

方程 $x^2-x\sin x-\cos x=0$ 的根就是函数 $f(x)=x^2-x\sin x-\cos x$ 的零点，因此：

$$f^{\prime }(x)=2x-\sin x-x\cos x+\sin x\Rightarrow$$

$$f^{\prime }(x)=x(2–\cos x)$$

由于函数 $f(x)$ 是一个偶函数，因此，我们可以先考虑其在 $[0,+\mathrm{\infty })$ 区间上的零点个数：

已知：

$$f(0)=0-0-\cos 0=-1<0$$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }>0$$

又：

$$x\in [0,+\mathrm{\infty })\Rightarrow f^{\prime }(x)>0$$

因此，一定存在 $x_1\in [0,+\mathrm{\infty })$, $x_1\ne 0$ 使得下式成立：

$$f\left(x_1\right)=0$$

根据偶函数的性质，同理：

$$x_2\in (-\mathrm{\infty },0],x_2\ne 0\Rightarrow f\left(x_2\right)=0$$

综上可知，方程 $x^2-x\sin x-\cos x=0$ 在区间 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 内有 $2$ 个实根。

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